与えられた複数の多項式を展開し、$x$について降べきの順に整理する問題です。具体的には、以下の5つの式について同様の操作を行います。 (1) $(x^3+4-3x)(1-2x)$ (2) $(x-a)(x-b)(x-c)$ (3) $(x^2-x+1)(x^2-x+3)$ (4) $(x+1)(x+2)(x-5)(x-6)$ (5) $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた複数の多項式を展開し、$x$について降べきの順に整理する問題です。具体的には、以下の5つの式について同様の操作を行います。

(1) $(x^3+4-3x)(1-2x)$

(2) $(x-a)(x-b)(x-c)$

(3) $(x^2-x+1)(x^2-x+3)$

(4) $(x+1)(x+2)(x-5)(x-6)$

(5) $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$

2. 解き方の手順

(1) $(x^3+4-3x)(1-2x)$

まず、$x^3+4-3x$を$x^3-3x+4$と整理します。

次に、展開します。

$(x^3-3x+4)(1-2x) = x^3-3x+4-2x^4+6x^2-8x$

$= -2x^4+x^3+6x^2-11x+4$

(2) $(x-a)(x-b)(x-c)$

まず、$(x-a)(x-b)$を展開します。

$(x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab$

次に、$(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c)$を展開します。

$x^3 - (a+b)x^2 + abx - cx^2 + c(a+b)x - abc$

$= x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$

(3) $(x^2-x+1)(x^2-x+3)$

$A = x^2 - x$ と置換すると、$(A+1)(A+3) = A^2 + 4A + 3$

$A^2 = (x^2-x)^2 = x^4 - 2x^3 + x^2$

$4A = 4(x^2-x) = 4x^2 - 4x$

したがって、 $x^4 - 2x^3 + x^2 + 4x^2 - 4x + 3 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

(4) $(x+1)(x+2)(x-5)(x-6)$

まず、$(x+1)(x-5)$と$(x+2)(x-6)$をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x-5) = x^2 - 4x - 5$

$(x+2)(x-6) = x^2 - 4x - 12$

$B = x^2 - 4x$ と置換すると、 $(B-5)(B-12) = B^2 - 17B + 60$

$B^2 = (x^2-4x)^2 = x^4 - 8x^3 + 16x^2$

$-17B = -17(x^2-4x) = -17x^2 + 68x$

したがって、$x^4 - 8x^3 + 16x^2 -17x^2 + 68x + 60 = x^4 - 8x^3 - x^2 + 68x + 60$

(5) $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$

まず、$(x-1)(x+3)$と$(x-2)(x+6)$をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$

$(x-2)(x+6) = x^2 + 4x - 12$

$(x^2+2x-3)(x^2+4x-12) = x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2x^3 + 8x^2 - 24x - 3x^2 - 12x + 36$

$= x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$

3. 最終的な答え

(1) $-2x^4+x^3+6x^2-11x+4$

(2) $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$

(3) $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

(4) $x^4 - 8x^3 - x^2 + 68x + 60$

(5) $x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$