与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) は $a_{n+1} = 2a_n + 3$, $a_1 = 3$ (2) は $a_{n+1} = 5a_n + 4n + 3$, $a_1 = 3$ です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) は $a_{n+1} = 2a_n + 3$, $a_1 = 3$

(2) は $a_{n+1} = 5a_n + 4n + 3$, $a_1 = 3$

です。

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ を変形します。

$a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$

ここで $b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となります。

また、$b_1 = a_1 + 3 = 3 + 3 = 6$ です。

したがって、$b_n$ は初項 6, 公比 2 の等比数列なので、

$b_n = 6 \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^n$

$a_n = b_n - 3 = 3 \cdot 2^n - 3$

(2)

漸化式 $a_{n+1} = 5a_n + 4n + 3$ を解きます。

$a_{n+1} = 5a_n + 4n + 3$

$a_{n+1} + An + B = 5(a_n + A(n-1) + B)$ となる $A$, $B$ を求めます。

$a_{n+1} = 5a_n + 4An - 5A + 5B - An - B$

$4n + 3 = (4A-A)n + (5B - 5A - B)$

$4 = 4A$, $3 = -5A + 4B$

$A = 1$, $3 = -5 + 4B$, $4B = 8$, $B = 2$

したがって、$a_{n+1} + n + 2 = 5(a_n + (n-1) + 2) = 5(a_n + n + 1)$

$b_n = a_n + n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = 5b_n$ となります。

また、$b_1 = a_1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 = 5$

$b_n = 5 \cdot 5^{n-1} = 5^n$

$a_n = b_n - n - 1 = 5^n - n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 2^n - 3$

(2) $a_n = 5^n - n - 1$