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与えられた2つの定積分の和を計算する問題です。 $\int_{1}^{3} (x^2+3)dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x)dx$

解析学定積分積分計算積分
2025/4/4

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分の和を計算する問題です。
∫13(x2+3)dx+∫13(−7x2−4x)dx\int_{1}^{3} (x^2+3)dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x)dx

2. 解き方の手順

まず、積分をまとめます。積分区間が同じなので、被積分関数を足し合わせることができます。
∫13(x2+3)dx+∫13(−7x2−4x)dx=∫13(x2+3−7x2−4x)dx=∫13(−6x2−4x+3)dx\int_{1}^{3} (x^2+3)dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x)dx = \int_{1}^{3} (x^2+3-7x^2-4x)dx = \int_{1}^{3} (-6x^2 -4x + 3)dx
次に、この定積分を計算します。
∫13(−6x2−4x+3)dx=[−2x3−2x2+3x]13\int_{1}^{3} (-6x^2 -4x + 3)dx = \left[-2x^3 -2x^2 + 3x\right]_{1}^{3}
積分範囲の上端と下端の値を代入して差を計算します。
[−2(3)3−2(3)2+3(3)]−[−2(1)3−2(1)2+3(1)]=[−2(27)−2(9)+9]−[−2−2+3]=[−54−18+9]−[−1]=[−63]−[−1]=−63+1=−62\left[-2(3)^3 -2(3)^2 + 3(3)\right] - \left[-2(1)^3 -2(1)^2 + 3(1)\right] = [-2(27) -2(9) + 9] - [-2 -2 + 3] = [-54 -18 + 9] - [-1] = [-63] - [-1] = -63 + 1 = -62

3. 最終的な答え

-62

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