正の定数 $a$ が与えられている。 (1) 関数 $f(\theta) = \frac{\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta + a^3\sin\theta}$ の導関数 $f'(\theta)$ を求める。 (2) $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲のすべての $\theta$ で、不等式 $k(\cos\theta + a^3\sin\theta) \geq \sin\theta\cos\theta$ が成り立つような数 $k$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられている。

(1) 関数 $f(\theta) = \frac{\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta + a^3\sin\theta}$ の導関数 $f'(\theta)$ を求める。

(2) $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲のすべての $\theta$ で、不等式 $k(\cos\theta + a^3\sin\theta) \geq \sin\theta\cos\theta$ が成り立つような数 $k$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 商の微分公式を用いる。$u = \sin\theta\cos\theta$, $v = \cos\theta + a^3\sin\theta$ とおくと、$f(\theta) = \frac{u}{v}$ であり、$f'(\theta) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ である。

まず、$u' = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos 2\theta$

次に、$v' = -\sin\theta + a^3\cos\theta$

したがって、

\begin{align*} f'(\theta) &= \frac{(\cos^2\theta - \sin^2\theta)(\cos\theta + a^3\sin\theta) - (\sin\theta\cos\theta)(-\sin\theta + a^3\cos\theta)}{(\cos\theta + a^3\sin\theta)^2} \\ &= \frac{\cos^3\theta + a^3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta - a^3\sin^3\theta + \sin^2\theta\cos\theta - a^3\sin\theta\cos^2\theta}{(\cos\theta + a^3\sin\theta)^2} \\ &= \frac{\cos^3\theta - a^3\sin^3\theta}{(\cos\theta + a^3\sin\theta)^2} \end{align*}

(2) 与えられた不等式を変形すると、

$k \geq \frac{\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta + a^3\sin\theta} = f(\theta)$

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ における $f(\theta)$ の最大値を求めればよい。

$f'(\theta) = \frac{\cos^3\theta - a^3\sin^3\theta}{(\cos\theta + a^3\sin\theta)^2} = 0$ となる $\theta$ を探すと、$\cos^3\theta = a^3\sin^3\theta$ より、$\cos\theta = a\sin\theta$

$\tan\theta = \frac{1}{a}$ となる $\theta$ を $\theta_0$ とすると、$\cos\theta_0 = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$, $\sin\theta_0 = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

このとき、

$f(\theta_0) = \frac{\frac{a}{1+a^2}}{\frac{a}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{a^3}{\sqrt{1+a^2}}} = \frac{a}{a+a^3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} \cdot \sqrt{1+a^2} = \frac{a}{a(1+a^2)} = \frac{a}{a+a^3} = \frac{1}{1+a^2}$

$\theta = 0$ のとき $f(0) = \frac{0}{1} = 0$, $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{0}{a^3} = 0$

したがって、$\theta = \theta_0$ のときに最大値 $\frac{1}{1+a^2}$ をとる。

よって、$k$ の最小値は $\frac{1}{1+a^2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f'(\theta) = \frac{\cos^3\theta - a^3\sin^3\theta}{(\cos\theta + a^3\sin\theta)^2}$

(2) $k$ の最小値は $\frac{1}{1+a^2}$