与えられた積分 $\int x \sin(x^2) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \sin(x^2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分によって解くことができます。

$u = x^2$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。

したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

これを用いて積分を書き換えます。

$\int x \sin(x^2) dx = \int \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin(u) du$

$\sin(u)$ の積分は $-\cos(u)$ なので、

$\frac{1}{2} \int \sin(u) du = \frac{1}{2} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{2} \cos(u) + C$

最後に、$u = x^2$ を代入して元の変数に戻します。

$-\frac{1}{2} \cos(u) + C = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \cos(x^2) + C$