与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = (\tan^{-1} x)^3$ (2) $y = \sin^{-1}(3 - x^2)$ (3) $y = (\sin^{-1} \sqrt{x})^2$ (4) $y = \sin^{-1}(\tan x)$ (5) $y = \tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}$ (6) $y = \tan^{-1}(x^3 + 1)$

はい、承知いたしました。画像に書かれた関数の微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = (\tan^{-1} x)^3$

(2) $y = \sin^{-1}(3 - x^2)$

(3) $y = (\sin^{-1} \sqrt{x})^2$

(4) $y = \sin^{-1}(\tan x)$

(5) $y = \tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}$

(6) $y = \tan^{-1}(x^3 + 1)$

2. 解き方の手順

各関数の微分を計算します。合成関数の微分公式（チェーンルール）を適切に適用します。

(1) $y = (\tan^{-1} x)^3$

$y' = 3(\tan^{-1} x)^2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{3(\tan^{-1} x)^2}{1 + x^2}$

(2) $y = \sin^{-1}(3 - x^2)$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (3 - x^2)^2}} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{\sqrt{1 - (3 - x^2)^2}} = \frac{-2x}{\sqrt{1 - (9 - 6x^2 + x^4)}} = \frac{-2x}{\sqrt{-x^4 + 6x^2 - 8}}$

(3) $y = (\sin^{-1} \sqrt{x})^2$

$y' = 2(\sin^{-1} \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sin^{-1} \sqrt{x}}{\sqrt{x(1 - x)}}$

(4) $y = \sin^{-1}(\tan x)$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} = \frac{1/\cos^2 x}{\sqrt{1 - \sin^2 x / \cos^2 x}} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$

(5) $y = \tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}$

ここで、$x = \tan \theta$ と置くと、$\frac{1 - x}{1 + x} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{\tan(\pi/4) - \tan \theta}{1 + \tan(\pi/4) \tan \theta} = \tan(\pi/4 - \theta)$.

よって、$y = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right) = \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x$.

$y' = -\frac{1}{1 + x^2}$

(6) $y = \tan^{-1}(x^3 + 1)$

$y' = \frac{1}{1 + (x^3 + 1)^2} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{1 + (x^3 + 1)^2} = \frac{3x^2}{1 + x^6 + 2x^3 + 1} = \frac{3x^2}{x^6 + 2x^3 + 2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{3(\tan^{-1} x)^2}{1 + x^2}$

(2) $y' = \frac{-2x}{\sqrt{-x^4 + 6x^2 - 8}}$

(3) $y' = \frac{\sin^{-1} \sqrt{x}}{\sqrt{x(1 - x)}}$

(4) $y' = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$

(5) $y' = -\frac{1}{1 + x^2}$

(6) $y' = \frac{3x^2}{x^6 + 2x^3 + 2}$