与えられた積分 $\int \arcsin(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \arcsin(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

逆三角関数の積分なので、部分積分法を用います。

部分積分法の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = \arcsin(x)$ と $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ を計算します。

$t = 1 - x^2$ とおくと、$dt = -2x dx$ となるので、$-\frac{1}{2} dt = x dx$

よって、$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C$

したがって、

$\int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) - (-\sqrt{1 - x^2}) + C = x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C$