$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+2x+3} - \sqrt{x^2-2x+1})$ を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+2x+3} - \sqrt{x^2-2x+1})$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を有理化します。

$\sqrt{x^2+2x+3} - \sqrt{x^2-2x+1} = (\sqrt{x^2+2x+3} - \sqrt{x^2-2x+1}) \times \frac{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-2x+1}}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-2x+1}}$

$= \frac{(x^2+2x+3) - (x^2-2x+1)}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-2x+1}}$

$= \frac{4x+2}{\sqrt{x^2+2x+3} + \sqrt{x^2-2x+1}}$

次に、分子と分母を$x$で割ります。

$= \frac{\frac{4x}{x}+\frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+2x+3}}{x} + \frac{\sqrt{x^2-2x+1}}{x}}$

$= \frac{4+\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{x^2+2x+3}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2-2x+1}{x^2}}}$

$= \frac{4+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$、$\frac{3}{x^2} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{4+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}} = \frac{4}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{4}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

2