$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+ax}-bx)=3$ が成り立つように、$a$と$b$の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+ax}-bx)=3$ が成り立つように、$a$と$b$の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+ax}-bx$の形を有理化します。

$\sqrt{x^2+ax}+bx$を分子と分母にかけます。

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+ax}-bx) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2+ax}-bx)(\sqrt{x^2+ax}+bx)}{\sqrt{x^2+ax}+bx}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{(x^2+ax)-b^2x^2}{\sqrt{x^2+ax}+bx}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{(1-b^2)x^2+ax}{\sqrt{x^2+ax}+bx}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{(1-b^2)x^2+ax}{x\sqrt{1+\frac{a}{x}}+bx}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{x^2((1-b^2)+\frac{a}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{a}{x}}+b)}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{x((1-b^2)+\frac{a}{x})}{(\sqrt{1+\frac{a}{x}}+b)}$

この極限が有限の値3になるためには、$x$の係数が0である必要があります。つまり、$1-b^2=0$となる必要があります。

$1-b^2=0$より、$b^2=1$なので、$b=\pm 1$となります。

ここで、$b=-1$とすると、$\sqrt{x^2+ax}+bx$の分母は$\sqrt{x^2+ax}-x$となり、この極限は正の無限大に発散してしまうため、$b>0$である必要があります。したがって、$b=1$となります。

$b=1$のとき、

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+ax}-x) = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2+ax}+x} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x\sqrt{1+\frac{a}{x}}+x} = \lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1}$

$= \frac{a}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{a}{2} = 3$

したがって、$a=6$となります。

3. 最終的な答え

$a=6$, $b=1$