次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$

解析学極限テイラー展開無理式の計算
2025/7/24

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
limx(4x23x+1+2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)

2. 解き方の手順

まず、4x23x+1+2x\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x の形を解消するために、有理化を行います。
4x23x+12x\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2xを分子と分母にかけます。
$\begin{aligned} \sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x &= (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) \cdot \frac{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} \\
&= \frac{(4x^2 - 3x + 1) - (4x^2)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} \\
&= \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}
\end{aligned}$
次に、分子と分母をxxで割ります。
x>0x>0において、x=x2x = \sqrt{x^2}なので、4x23x+1=x2(43x+1x2)=x43x+1x2\sqrt{4x^2 - 3x + 1} = \sqrt{x^2(4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})} = x\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}となります。
$\begin{aligned} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} &= \frac{x(-3 + \frac{1}{x})}{x(\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2)} \\
&= \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}
\end{aligned}$
xx \to \inftyのとき、1x0\frac{1}{x} \to 0 および 1x20\frac{1}{x^2} \to 0 であるから、
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} &= \frac{-3 + 0}{\sqrt{4 - 0 + 0} - 2} \\
&= \frac{-3}{\sqrt{4} - 2} \\
&= \frac{-3}{2 - 2} \\
&= \frac{-3}{0}
\end{aligned}$
上記の計算では、30\frac{-3}{0}という形になってしまい、極限が存在しない可能性があります。しかし、よく見ると、最初の式4x23x+1+2x\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2xにおいて、xxが十分に大きいとき4x23x+1\sqrt{4x^2 - 3x + 1}は、2x2xより少し小さいくらいの値を取るので、4x23x+1+2x\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2xの値は正の無限大に発散することが予想されます。
したがって、先程の有理化の際に、4x23x+12x\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2xを分子と分母にかけたことにより、分母が0に近づいてしまい、うまく計算ができなくなってしまいました。
正攻法で解くことは難しいので、別の考え方をします。
4x23x+1\sqrt{4x^2 - 3x + 1}をテイラー展開で近似します。
4x23x+1=4x2(134x+14x2)=2x134x+14x2\sqrt{4x^2 - 3x + 1} = \sqrt{4x^2(1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2})} = 2x\sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}
1+x\sqrt{1+x}のテイラー展開は、1+12x18x2+...1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + ...です。
x=34x+14x2x = -\frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}と考えると
134x+14x21+12(34x+14x2)=138x+18x2\sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}(-\frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}) = 1 - \frac{3}{8x} + \frac{1}{8x^2}
したがって、4x23x+12x(138x+18x2)=2x34+14x\sqrt{4x^2 - 3x + 1} \approx 2x(1 - \frac{3}{8x} + \frac{1}{8x^2}) = 2x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4x}
4x23x+1+2x2x34+14x+2x=4x34+14x\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x \approx 2x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4x} + 2x = 4x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4x}
limx(4x34+14x)=\lim_{x \to \infty} (4x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4x}) = \infty

3. 最終的な答え

\infty

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