まず、4x2−3x+1+2x の形を解消するために、有理化を行います。 4x2−3x+1−2xを分子と分母にかけます。 $\begin{aligned} \sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x &= (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) \cdot \frac{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} \\
&= \frac{(4x^2 - 3x + 1) - (4x^2)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} \\
&= \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}
\end{aligned}$
x>0において、x=x2なので、4x2−3x+1=x2(4−x3+x21)=x4−x3+x21となります。 $\begin{aligned} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} &= \frac{x(-3 + \frac{1}{x})}{x(\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2)} \\
&= \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}
\end{aligned}$
x→∞のとき、x1→0 および x21→0 であるから、 $\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} &= \frac{-3 + 0}{\sqrt{4 - 0 + 0} - 2} \\
&= \frac{-3}{\sqrt{4} - 2} \\
&= \frac{-3}{2 - 2} \\
&= \frac{-3}{0}
\end{aligned}$
上記の計算では、0−3という形になってしまい、極限が存在しない可能性があります。しかし、よく見ると、最初の式4x2−3x+1+2xにおいて、xが十分に大きいとき4x2−3x+1は、2xより少し小さいくらいの値を取るので、4x2−3x+1+2xの値は正の無限大に発散することが予想されます。 したがって、先程の有理化の際に、4x2−3x+1−2xを分子と分母にかけたことにより、分母が0に近づいてしまい、うまく計算ができなくなってしまいました。 正攻法で解くことは難しいので、別の考え方をします。
4x2−3x+1をテイラー展開で近似します。 4x2−3x+1=4x2(1−4x3+4x21)=2x1−4x3+4x21 1+xのテイラー展開は、1+21x−81x2+...です。 x=−4x3+4x21と考えると 1−4x3+4x21≈1+21(−4x3+4x21)=1−8x3+8x21 したがって、4x2−3x+1≈2x(1−8x3+8x21)=2x−43+4x1 4x2−3x+1+2x≈2x−43+4x1+2x=4x−43+4x1 limx→∞(4x−43+4x1)=∞