極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず式を有利化します。

$\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}$ に $\frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$ を掛けます。

すると、以下のようになります。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) \cdot \frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x+2) - (x+1)}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

ここで、 $x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x+2} \to \infty$ であり、$\sqrt{x+1} \to \infty$ です。

したがって、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} \to \infty$ となります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = 0$

3. 最終的な答え

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