数学的帰納法を用いて、$2^n > 2n$ (ただし、$n$ は3以上の自然数とする)を証明する問題です。証明の空欄を埋める選択肢を選びます。

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、$2^n > 2n$ (ただし、$n$ は3以上の自然数とする)を証明する問題です。証明の空欄を埋める選択肢を選びます。

2. 解き方の手順

(i) $n = ア$ のとき:

$n = 3$ のときを調べるので、$ア = 3$ (う)。

(左辺) $= 2^3 = 8$ なので、$イ = 8$ (え)。

(右辺) $= 2 \cdot 3 = 6$ なので、$ウ = 6$ (お)。

よって、$8 > 6$ なので、(左辺) $>$ (右辺)となり、$エ = >$ (せ)。

ゆえに、$n = 3$ のとき成り立つ。

(ii) $k \geq オ$ とし、$n = k$ のとき、$2^k > 2k$ が成り立つと仮定する。つまり、$カ = 2^k > 2k$ (く)。

$n = k + 1$ のとき、$2^{k+1} > 2(k+1)$ を示す。つまり、$キ = 2^{k+1} > 2(k+1)$ (き)。

(左辺) - (右辺) $= 2^{k+1} - 2(k+1) = 2 \cdot 2^k - 2k - 2$ なので、$ク = 2^{k+1} - 2(k+1)$ (か)。

$2^{k+1} - 2k - 2 = 2 \cdot 2^k - 2k - 2$ なので、$ケ = 2^k$ (す)。

$2 \cdot 2^k - 2k - 2 = 2 \cdot 2^k - 2k - 2$ なので、$コ = 2 \cdot 2^k$ (す)。

$2 \cdot 2^k - 2k - 2 = 2(2^k - k - 1)$ となる。

$k \geq 3$ より、$2^k > 2k$ なので、$2^k - k - 1 > 2k - k - 1 = k - 1 > 0$ ($k > 1$)。

よって、$サ = 2 \cdot 2^k - 2k - 2$ なので、$サ = 2^{k+1} - 2k - 2 > 0$ (か)。

(ii)より、$n = k + 1$ のときにも成り立つ。

3. 最終的な答え

ア: う

イ: え

ウ: お

エ: せ

オ: う

カ: く

キ: き

ク: か

ケ: す

コ: す

サ: か