$-1 < r < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つことを示す際に、$r = \frac{1}{1+h}$ とおく理由について問われています。

1. 問題の内容

$-1 < r < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つことを示す際に、$r = \frac{1}{1+h}$ とおく理由について問われています。

2. 解き方の手順

$r = \frac{1}{1+h}$ とおくことの目的は、$r$ の絶対値が1より小さいという条件を扱いやすい形に変形することです。

* $|r| < 1$ を示すために、$r = \frac{1}{1+h}$ とおき、$h>0$ の場合を考えます。

* $r = \frac{1}{1+h}$ は、$h > 0$ ならば $0 < r < 1$ を満たします。

* また、$-1 < r < 0$ の場合も考慮する必要があります。

* そのため、$r = -\frac{1}{1+h}$ とおき、$h > 0$ の場合を考えます。

* すると、$-1 < r < 0$ を満たします。

* 重要な点として、このような形でおくことで、二項定理を利用しやすくなります。例えば、ベルヌーイの不等式 $(1+h)^n \ge 1+nh$ を使うことができます。

* $\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ を示すために、

$$|n^2r^n| = \frac{n^2}{(1+h)^n}$$

を考えます。$h>0$の場合、分母の $(1+h)^n$ は $n$ が大きくなるにつれて指数関数的に増加するのに対し、分子の $n^2$ は多項式的に増加するため、$n$ が十分に大きいとき、分母の増加速度が分子の増加速度を上回り、極限は0に近づきます。

* 二項定理を使うと、例えば$n \geq 3$のとき、

$$(1+h)^n = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3 + \cdots > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3$$

となるため、

$$\frac{n^2}{(1+h)^n} < \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3}$$

となり、$n \to \infty$ で右辺は 0 に収束します。

3. 最終的な答え

$r = \frac{1}{1+h}$ とおくのは、$|r| < 1$ という条件を扱いやすくし、二項定理やベルヌーイの不等式を使って評価することで、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ を示すためです。このように置換することで、$r$ の絶対値が1より小さいという条件のもとで、$n$ が大きくなるにつれて $n^2 r^n$ が 0 に収束することを容易に示すことができます。