不等式 $4(x+2) < 3(x+a)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が7であるとき、定数 $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $4(x+2) < 3(x+a)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が7であるとき、定数 $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を解きます。

$4(x+2) < 3(x+a)$

$4x+8 < 3x+3a$

$4x-3x < 3a-8$

$x < 3a-8$

不等式を満たす $x$ のうち最大の整数が7であるということは、$x$ は $x<3a-8$ を満たし、かつ、最大の整数が7であることから、次の不等式が成り立ちます。

$7 < 3a-8 \le 8$

（もし、$3a-8=7$なら、不等式を満たす最大の整数は6になってしまう。）

（もし、$3a-8>8$なら、不等式を満たす最大の整数は8以上になってしまう。）

この不等式を解いて、$a$ の範囲を求めます。

$7 < 3a-8 \le 8$

$15 < 3a \le 16$

$5 < a \le \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$5 < a \le \frac{16}{3}$