問題は、公式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解し、その結果を用いて以下の式を因数分解することです。 (1) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$ (2) $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$

1. 問題の内容

問題は、公式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解し、その結果を用いて以下の式を因数分解することです。

(1) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$

(2) $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$

2. 解き方の手順

まず、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解します。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

$= (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

$= (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b) - 3abc$

$= (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2) - 3ab(a+b+c)$

$= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

したがって、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

次に、この結果を用いて (1) と (2) を因数分解します。

(1) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$

$= x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 3(x)(2y)(1)$

$a = x, b = 2y, c = 1$ として、

$= (x+2y+1)(x^2 + (2y)^2 + 1^2 - x(2y) - (2y)(1) - (1)(x))$

$= (x+2y+1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$

$= (x+2y+1)(x^2 - 2xy + 4y^2 - x - 2y + 1)$

(2) $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$

$a = x-y, b = y-z, c = z-x$ とすると、

$a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = 0$

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ より、

$a+b+c = 0$ のとき、 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

したがって、

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2y+1)(x^2 - 2xy + 4y^2 - x - 2y + 1)$

(2) $3(x-y)(y-z)(z-x)$