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与えられた導関数 $F'(x) = -4x + 5$ と初期条件 $F(1) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分導関数初期条件積分定数関数
2025/4/4

1. 問題の内容

与えられた導関数 F′(x)=−4x+5F'(x) = -4x + 5 と初期条件 F(1)=6F(1) = 6 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、導関数 F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(−4x+5)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (-4x + 5) dx
積分を実行すると、
F(x)=−2x2+5x+CF(x) = -2x^2 + 5x + C
となります。ここで、CC は積分定数です。
次に、初期条件 F(1)=6F(1) = 6 を用いて積分定数 CC を求めます。
F(1)=−2(1)2+5(1)+C=6F(1) = -2(1)^2 + 5(1) + C = 6
−2+5+C=6-2 + 5 + C = 6
3+C=63 + C = 6
C=3C = 3
したがって、F(x)F(x) は
F(x)=−2x2+5x+3F(x) = -2x^2 + 5x + 3
となります。

3. 最終的な答え

F(x)=−2x2+5x+3F(x) = -2x^2 + 5x + 3

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