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与えられた導関数 $F'(x) = -3x^2 + 6x - 1$ と条件 $F(2) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分導関数不定積分初期条件
2025/4/4

1. 問題の内容

与えられた導関数 F′(x)=−3x2+6x−1F'(x) = -3x^2 + 6x - 1 と条件 F(2)=6F(2) = 6 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。積分定数を CC とします。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(−3x2+6x−1)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (-3x^2 + 6x - 1) dx
F(x)=−x3+3x2−x+CF(x) = -x^3 + 3x^2 - x + C
(2) 条件 F(2)=6F(2) = 6 を用いて積分定数 CC を求めます。
F(2)=−(2)3+3(2)2−2+C=−8+12−2+C=2+C=6F(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 + C = -8 + 12 - 2 + C = 2 + C = 6
C=6−2=4C = 6 - 2 = 4
(3) 積分定数 CC の値を F(x)F(x) に代入して、最終的な関数 F(x)F(x) を求めます。
F(x)=−x3+3x2−x+4F(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 4

3. 最終的な答え

F(x)=−x3+3x2−x+4F(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 4

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