関数 $y = \frac{2x+c}{ax+b}$ のグラフが点 $(-2, \frac{9}{5})$ を通り、2直線 $x = -\frac{1}{3}$, $y = \frac{2}{3}$ を漸近線に持つとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+c}{ax+b}$ のグラフが点 $(-2, \frac{9}{5})$ を通り、2直線 $x = -\frac{1}{3}$, $y = \frac{2}{3}$ を漸近線に持つとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 漸近線が $x = -\frac{1}{3}$ であることから、$ax+b=0$ となる $x$ が $-\frac{1}{3}$ であることがわかります。

よって、

$$a(-\frac{1}{3}) + b = 0$$

$$-\frac{1}{3}a + b = 0$$

$$b = \frac{1}{3}a$$

* 漸近線が $y = \frac{2}{3}$ であることから、$\frac{2}{a} = \frac{2}{3}$ がわかります。

よって、

$$a = 3$$

$a=3$を$b=\frac{1}{3}a$に代入すると、

$$b = \frac{1}{3}(3) = 1$$

* 関数が点 $(-2, \frac{9}{5})$ を通ることから、この座標を式に代入します。

$$\frac{9}{5} = \frac{2(-2)+c}{3(-2)+1}$$

$$\frac{9}{5} = \frac{-4+c}{-6+1}$$

$$\frac{9}{5} = \frac{-4+c}{-5}$$

両辺に$-5$をかけると

$$-9 = -4 + c$$

$$c = -9 + 4 = -5$$

したがって、$c = -5$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3, b = 1, c = -5$