2次関数 $y = -x^2 - 3x - 2$ のグラフの頂点を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 3x - 2$ のグラフの頂点を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成させます。平方完成とは、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形することであり、このとき頂点の座標は $(p, q)$ となります。

まず、$x^2$ の項の係数で全体をくくります。

$y = -(x^2 + 3x) - 2$

次に、$x$ の項の係数の半分を2乗したものを足して引きます。$x$ の項の係数は 3 なので、その半分は $\frac{3}{2}$ であり、その2乗は $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ です。

$y = -(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 2$

$y = -((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 2$

括弧を外します。

$y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 2$

定数項を計算します。

$y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - \frac{8}{4}$

$y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

よって、頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$ となります。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$ である。