与えられたデータ $\{37, 31, 38, 27, 41, 35, 30, a\}$ の中央値として何通りの値が考えられるかを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられたデータ $\{37, 31, 38, 27, 41, 35, 30, a\}$ の中央値として何通りの値が考えられるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータを $a$ を含めずに昇順に並べます：

$27, 30, 31, 35, 37, 38, 41$

データは全部で8個あるので、中央値は小さい方から4番目と5番目の値の平均です。

$a$ の値によって、中央値が変わるので、場合分けして考えます。

(1) $a \le 31$ のとき、データを昇順に並べると

$a, 27, 30, 31, 35, 37, 38, 41$ となり、中央値は $(31 + 35)/2 = 33$ です。

$a, 27, 30, 31, 35, 37, 38, 41$

(2) $31 < a \le 35$ のとき、データを昇順に並べると

$27, 30, 31, a, 35, 37, 38, 41$ となり、中央値は $(a + 35)/2$ です。$a$ が32から35の整数を取る時、中央値は $(32+35)/2 = 33.5$から$(35+35)/2=35$まで、0.5刻みで変化します。32から35までaは4通り取り得ます。

(3) $35 < a \le 37$ のとき、データを昇順に並べると

$27, 30, 31, 35, a, 37, 38, 41$ となり、中央値は $(35 + a)/2$ です。$a$ が36,37の整数を取る時、中央値は $(35+36)/2 = 35.5$から$(35+37)/2 = 36$まで、0.5刻みで変化します。aは2通り取り得ます。

(4) $37 < a \le 38$ のとき、データを昇順に並べると

$27, 30, 31, 35, 37, a, 38, 41$ となり、中央値は $(35 + 37)/2 = 36$ です。

(5) $38 < a$ のとき、データを昇順に並べると

$27, 30, 31, 35, 37, 38, 41, a$ となり、中央値は $(35 + 37)/2 = 36$ です。

まとめると、$a$ の値によって中央値は $33, (a+35)/2, 36$ のいずれかになります。$(a+35)/2$は$a$の値によって変わる値です。$a$の値によって中央値が異なるのは、$31<a<=37$の範囲の時です。この時の$a$の整数値は、$32,33,34,35,36,37$の6通りです。

したがって、中央値として考えられる値は、$33, 33.5, 34, 34.5, 35, 35.5, 36$ の7通りです。

3. 最終的な答え

7通り