次の不定積分を求めます。ただし、$x$ は $t$ に無関係とします。 $$\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt$$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。ただし、$x$ は $t$ に無関係とします。

$$\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt$$

2. 解き方の手順

不定積分を計算します。

まず、積分を各項に分けます。

$$\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt = \int -5t^2 dt - \int 2t dt + \int 3x^2 dt$$

次に、各項を積分します。

$\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$$\int -5t^2 dt = -5 \int t^2 dt = -5 \cdot \frac{t^3}{3} + C_1 = -\frac{5}{3}t^3 + C_1$$

$$\int -2t dt = -2 \int t dt = -2 \cdot \frac{t^2}{2} + C_2 = -t^2 + C_2$$

$$\int 3x^2 dt = 3x^2 \int dt = 3x^2 t + C_3$$

これらをまとめると、

$$-\frac{5}{3}t^3 - t^2 + 3x^2 t + C$$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$$-\frac{5}{3}t^3 - t^2 + 3tx^2 + C$$