不定積分 $\int (-3x^3 + 4x^2 - 3x + 3t^2 - t) dx$ を求めなさい。ただし、$t$ は $x$ に無関係とする。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (-3x^3 + 4x^2 - 3x + 3t^2 - t) dx$ を求めなさい。ただし、$t$ は $x$ に無関係とする。

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項ごとに積分を行います。$t$ は $x$ に無関係なので、定数として扱います。

$\int (-3x^3 + 4x^2 - 3x + 3t^2 - t) dx = \int -3x^3 dx + \int 4x^2 dx - \int 3x dx + \int 3t^2 dx - \int t dx$

各項の積分を実行します。

$\int -3x^3 dx = -3 \int x^3 dx = -3 \cdot \frac{x^4}{4} = -\frac{3}{4}x^4$

$\int 4x^2 dx = 4 \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3$

$\int -3x dx = -3 \int x dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{3}{2}x^2$

$\int 3t^2 dx = 3t^2 \int 1 dx = 3t^2 x = 3t^2x$

$\int -t dx = -t \int 1 dx = -tx$

これらの結果をまとめると、

$-\frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 3t^2x - tx + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 3t^2x - tx + C$