水平面上を運動する質点の位置が、時刻 $t$ に対して $x = at\sin(\omega t)$ および $y = at\cos(\omega t)$ で与えられるとき、時刻 $t$ における質点の速度の $x$ 成分と $y$ 成分を求める問題です。ここで、$a$ と $\omega$ は正の定数です。

1. 問題の内容

水平面上を運動する質点の位置が、時刻 $t$ に対して $x = at\sin(\omega t)$ および $y = at\cos(\omega t)$ で与えられるとき、時刻 $t$ における質点の速度の $x$ 成分と $y$ 成分を求める問題です。ここで、$a$ と $\omega$ は正の定数です。

2. 解き方の手順

速度は位置の時間微分で求められます。つまり、速度の $x$ 成分 $v_x$ は $x$ を $t$ で微分したものであり、速度の $y$ 成分 $v_y$ は $y$ を $t$ で微分したものです。

$x = at\sin(\omega t)$ を $t$ で微分します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$$v_x = \frac{dx}{dt} = a\sin(\omega t) + at\omega\cos(\omega t) = a\sin(\omega t) + a\omega t\cos(\omega t)$$

$y = at\cos(\omega t)$ を $t$ で微分します。積の微分公式を用いると、

$$v_y = \frac{dy}{dt} = a\cos(\omega t) - at\omega\sin(\omega t) = a\cos(\omega t) - a\omega t\sin(\omega t)$$

3. 最終的な答え

時刻 $t$ における質点の速度の $x$ 成分 $v_x$ は

$v_x = a\sin(\omega t) + a\omega t\cos(\omega t)$

時刻 $t$ における質点の速度の $y$ 成分 $v_y$ は

$v_y = a\cos(\omega t) - a\omega t\sin(\omega t)$