一様な電場 $\mathbf{E}$ と磁束密度 $\mathbf{B}$ 中を速度 $\mathbf{v}$ で移動する荷電粒子の運動方程式が与えられています。 $$ m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) $$ ここで、$m$ は荷電粒子の質量、$q$ は電荷で定数です。 (1) $\mathbf{E} = (E_0, 0, 0)$, $\mathbf{B} = (B_0, 0, 0)$, $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ のとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ についての微分方程式を求めます。($E_0$, $B_0$ は定数) (2) 時間 $t = 0$ における速度 $\mathbf{v}(0) = (v_0, 0, v_1)$ のとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ を求めます。($v_0$, $v_1$ は定数)

1. 問題の内容

一様な電場 $\mathbf{E}$ と磁束密度 $\mathbf{B}$ 中を速度 $\mathbf{v}$ で移動する荷電粒子の運動方程式が与えられています。

$$m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$$

ここで、$m$ は荷電粒子の質量、$q$ は電荷で定数です。

(1) $\mathbf{E} = (E_0, 0, 0)$, $\mathbf{B} = (B_0, 0, 0)$, $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ のとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ についての微分方程式を求めます。($E_0$, $B_0$ は定数)

(2) 時間 $t = 0$ における速度 $\mathbf{v}(0) = (v_0, 0, v_1)$ のとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ を求めます。($v_0$, $v_1$ は定数)

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{E} = (E_0, 0, 0)$, $\mathbf{B} = (B_0, 0, 0)$, $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ を運動方程式に代入します。

まず、$\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ を計算します。

$$\mathbf{v} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ v_x & v_y & v_z \\ B_0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, v_z B_0, -v_y B_0)$$

したがって、運動方程式は次のようになります。

$$m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q((E_0, 0, 0) + (0, v_z B_0, -v_y B_0)) = q(E_0, v_z B_0, -v_y B_0)$$

これを成分ごとに書くと、次のようになります。

$$m\frac{dv_x}{dt} = qE_0$$

$$m\frac{dv_y}{dt} = qv_z B_0$$

$$m\frac{dv_z}{dt} = -qv_y B_0$$

(2) (1)で求めた微分方程式を解きます。まず、$v_x$ から求めます。

$$\frac{dv_x}{dt} = \frac{qE_0}{m}$$

両辺を積分すると、

$$v_x(t) = \frac{qE_0}{m}t + C_1$$

初期条件 $v_x(0) = v_0$ より、$C_1 = v_0$ なので、

$$v_x(t) = \frac{qE_0}{m}t + v_0$$

次に、$v_y$ と $v_z$ についての方程式を解きます。

$$\frac{dv_y}{dt} = \frac{qB_0}{m}v_z$$

$$\frac{dv_z}{dt} = -\frac{qB_0}{m}v_y$$

これらの式を時間で微分します。

$$\frac{d^2v_y}{dt^2} = \frac{qB_0}{m}\frac{dv_z}{dt} = \frac{qB_0}{m}\left(-\frac{qB_0}{m}v_y\right) = -\left(\frac{qB_0}{m}\right)^2 v_y$$

ここで、$\omega = \frac{qB_0}{m}$ とおくと、

$$\frac{d^2v_y}{dt^2} = -\omega^2 v_y$$

この微分方程式の一般解は、

$$v_y(t) = C_2 \cos(\omega t) + C_3 \sin(\omega t)$$

初期条件 $v_y(0) = 0$ より、$C_2 = 0$ なので、

$$v_y(t) = C_3 \sin(\omega t)$$

次に、$v_z$ を求めます。

$$v_z(t) = \frac{m}{qB_0} \frac{dv_y}{dt} = \frac{m}{qB_0} C_3 \omega \cos(\omega t) = C_3 \cos(\omega t)$$

初期条件 $v_z(0) = v_1$ より、$C_3 = v_1$ なので、

$$v_y(t) = v_1 \sin(\omega t)$$

$$v_z(t) = v_1 \cos(\omega t)$$

3. 最終的な答え

(1)

$$m\frac{dv_x}{dt} = qE_0$$

$$m\frac{dv_y}{dt} = qv_z B_0$$

$$m\frac{dv_z}{dt} = -qv_y B_0$$

(2)

$$v_x(t) = \frac{qE_0}{m}t + v_0$$

$$v_y(t) = v_1 \sin(\omega t)$$

$$v_z(t) = v_1 \cos(\omega t)$$

ここで、$\omega = \frac{qB_0}{m}$ です。