ロジスティック方程式 $\dot{N} = k_0 (1 - N/K) N$ の一般解を、変数変換 $u = N^{-1}$ を用いて求めよ。

1. 問題の内容

ロジスティック方程式 $\dot{N} = k_0 (1 - N/K) N$ の一般解を、変数変換 $u = N^{-1}$ を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた変数変換 $u = N^{-1}$ から、$N = \frac{1}{u}$ である。これを時間 $t$ で微分すると、

$\dot{N} = -\frac{1}{u^2} \dot{u}$

与えられたロジスティック方程式 $\dot{N} = k_0 (1 - N/K) N$ に代入すると、

$-\frac{1}{u^2} \dot{u} = k_0 (1 - \frac{1}{uK}) \frac{1}{u}$

両辺に $-u^2$ を掛けると、

$\dot{u} = -k_0 (1 - \frac{1}{uK}) u = -k_0 u + \frac{k_0}{K}$

これは線形微分方程式なので、解くことができる。

$\dot{u} + k_0 u = \frac{k_0}{K}$

この微分方程式を解くために、積分因子 $e^{\int k_0 dt} = e^{k_0 t}$ を両辺に掛ける。

$e^{k_0 t} \dot{u} + k_0 e^{k_0 t} u = \frac{k_0}{K} e^{k_0 t}$

$\frac{d}{dt}(u e^{k_0 t}) = \frac{k_0}{K} e^{k_0 t}$

両辺を積分すると、

$\int \frac{d}{dt}(u e^{k_0 t}) dt = \int \frac{k_0}{K} e^{k_0 t} dt$

$u e^{k_0 t} = \frac{1}{K} e^{k_0 t} + C$

$u = \frac{1}{K} + Ce^{-k_0 t}$

$N = \frac{1}{u}$ より、

$N = \frac{1}{\frac{1}{K} + Ce^{-k_0 t}} = \frac{K}{1 + KCe^{-k_0 t}}$

ここで、$A = KC$ とおくと、

$N = \frac{K}{1 + Ae^{-k_0 t}}$

3. 最終的な答え

$N = \frac{K}{1 + Ae^{-k_0 t}}$