質量 $m$、断面積 $S$ のうきが密度 $\rho$ の水に浮いている。つりあって静止している時のうきの位置を原点として上向きに $x$ 軸をとる。うきが運動すると、速度に比例する抵抗力 (比例係数 $\gamma > 0$) が働く。 (1) うきが上下に振動するときの運動方程式を求めよ。 (2) (1) の運動方程式の一般解を求めよ。ただし、比例係数 $\gamma$ は減衰振動となる条件を満たすものとする。 (3) うきは時刻 $t=0$ のとき原点にあり、速度は $v(0) = v_0$ であった。(2) の一般解を用いて、うきの $x$ 座標を $t$ の関数として求めよ。

## 問題3

1. 問題の内容

質量 $m$、断面積 $S$ のうきが密度 $\rho$ の水に浮いている。つりあって静止している時のうきの位置を原点として上向きに $x$ 軸をとる。うきが運動すると、速度に比例する抵抗力 (比例係数 $\gamma > 0$) が働く。

(1) うきが上下に振動するときの運動方程式を求めよ。

(2) (1) の運動方程式の一般解を求めよ。ただし、比例係数 $\gamma$ は減衰振動となる条件を満たすものとする。

(3) うきは時刻 $t=0$ のとき原点にあり、速度は $v(0) = v_0$ であった。(2) の一般解を用いて、うきの $x$ 座標を $t$ の関数として求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式の導出

うきには、重力、浮力、抵抗力が働く。重力は $mg$ で下向き、浮力はアルキメデスの原理より $\rho S x g$ (ただし、$x$ は水面からの変位で正のとき上向き)で上向き。抵抗力は $\gamma v = \gamma \frac{dx}{dt}$ で下向き。ニュートンの運動方程式は以下の通り。

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -mg + \rho Sxg - \gamma \frac{dx}{dt}$

つりあいの状態では、$mg = \rho S x_0 g$ なので、 $x' = x - x_0$ とおくと、$x = x'+x_0$。これにより、 $m\frac{d^2x'}{dt^2} = -mg + \rho S (x'+x_0)g - \gamma \frac{dx'}{dt}$。よって、$m\frac{d^2x'}{dt^2} = \rho S x'g - \gamma \frac{dx'}{dt}$。

従って、運動方程式は以下の通り。

$m\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt} + \rho S g x = 0$

(2) 一般解の導出

(1) の運動方程式は、以下の形になる。

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{\gamma}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{\rho S g}{m} x = 0$

$\omega_0 = \sqrt{\frac{\rho S g}{m}}$, $\Gamma = \frac{\gamma}{2m}$ とおくと、運動方程式は

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\Gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$

特性方程式は $\lambda^2 + 2\Gamma \lambda + \omega_0^2 = 0$。

解は $\lambda = -\Gamma \pm \sqrt{\Gamma^2 - \omega_0^2}$。

減衰振動の条件は $\Gamma < \omega_0$ なので、$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \Gamma^2}$ とおくと、$\lambda = -\Gamma \pm i\omega$。

よって、一般解は以下の通り。

$x(t) = e^{-\Gamma t} (A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t))$

(3) 初期条件から特殊解を決定

初期条件は $x(0) = 0$, $v(0) = v_0$。

$x(0) = A = 0$

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -\Gamma e^{-\Gamma t} B\sin(\omega t) + e^{-\Gamma t} B\omega\cos(\omega t)$

$v(0) = B\omega = v_0$

$B = \frac{v_0}{\omega}$

従って、$x(t) = \frac{v_0}{\omega} e^{-\Gamma t} \sin(\omega t)$。

3. 最終的な答え

(1) 運動方程式:

$m\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt} + \rho S g x = 0$

(2) 一般解:

$x(t) = e^{-\Gamma t} (A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t))$, ただし、$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \Gamma^2}$, $\omega_0 = \sqrt{\frac{\rho S g}{m}}$, $\Gamma = \frac{\gamma}{2m}$

(3) $x$ 座標の時間関数:

$x(t) = \frac{v_0}{\omega} e^{-\Gamma t} \sin(\omega t)$, ただし、$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \Gamma^2}$, $\omega_0 = \sqrt{\frac{\rho S g}{m}}$, $\Gamma = \frac{\gamma}{2m}$

## 問題4

1. 問題の内容

水平面上に固定された壁の間に、質量 $m$ の小球をバネ定数 $k$ の3つの同じバネで取り付けた。つりあって静止している時の小球の位置を原点として右向きに $x$ 軸をとる。$x$ 軸に沿って小球を振動させるときの、運動方程式の $x$ 成分、および単振動の角振動数を書け。ただし、摩擦や抵抗はないものとする。

2. 解き方の手順

小球にはたらく力は、左右のバネの力である。左側のバネは $-kx$、右側のバネは $-kx$。よって、合計の力は $-2kx$。

ニュートンの運動方程式は $ma = -2kx$。従って、運動方程式は

$m\frac{d^2x}{dt^2} + 2kx = 0$

$\omega = \sqrt{\frac{2k}{m}}$ とおくと、

$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$。

3. 最終的な答え

運動方程式: $m\frac{d^2x}{dt^2} + 2kx = 0$

単振動の角振動数: $\omega = \sqrt{\frac{2k}{m}}$