実質金利（純利子率）$r = 0.25$に直面する企業の利潤最大化を考える。企業の異時点間の生産関数が $Y_2 = F(I_1) = 1.5\ln(I_1 + 1)$のとき、最適な設備投資 $I_1$ はいくらになるか。

1. 問題の内容

実質金利（純利子率）$r = 0.25$に直面する企業の利潤最大化を考える。企業の異時点間の生産関数が $Y_2 = F(I_1) = 1.5\ln(I_1 + 1)$のとき、最適な設備投資 $I_1$ はいくらになるか。

2. 解き方の手順

利潤最大化を考える。利潤は、翌期の生産量から投資の費用を差し引いたものである。翌期の価値に割り引く必要があるので、割引率を考慮する。利潤 $\pi$ は以下の式で表される。

$\pi = Y_2 - (1+r)I_1$

$Y_2 = 1.5\ln(I_1 + 1)$ を代入すると、

$\pi = 1.5\ln(I_1 + 1) - (1+r)I_1$

利潤を最大化するために、$\pi$ を $I_1$ で微分し、0 とおくと、

$\frac{d\pi}{dI_1} = \frac{1.5}{I_1 + 1} - (1+r) = 0$

これを $I_1$ について解く。

$\frac{1.5}{I_1 + 1} = 1+r$

$I_1 + 1 = \frac{1.5}{1+r}$

$I_1 = \frac{1.5}{1+r} - 1$

$r = 0.25$ を代入する。

$I_1 = \frac{1.5}{1+0.25} - 1 = \frac{1.5}{1.25} - 1 = \frac{1.5}{5/4} - 1 = \frac{1.5 \times 4}{5} - 1 = \frac{6}{5} - 1 = 1.2 - 1 = 0.2$

3. 最終的な答え

最適な設備投資は0.2となる。