2期間モデルにおける消費者の効用関数が $U(C_1, C_2) = 0.7 \ln(C_1) + 0.3 \ln(C_2)$ で与えられるとき、設備投資関数が外生的な場合の45度線分析における財政支出乗数を求める問題です。

1. 問題の内容

2期間モデルにおける消費者の効用関数が $U(C_1, C_2) = 0.7 \ln(C_1) + 0.3 \ln(C_2)$ で与えられるとき、設備投資関数が外生的な場合の45度線分析における財政支出乗数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題では、2期間モデルにおける財政支出乗数を導出する必要があります。45度線分析（ケインジアンモデル）を想定しているので、総需要と総供給の均衡から考えます。

まず、総需要（AD）は、$AD = C_1 + G$ と表されます。ここで、$C_1$ は第1期の消費、$G$ は政府支出です。

総供給は$Y$で与えられています。均衡条件は、$Y=AD$すなわち、$Y=C_1+G$です。

効用関数が $U(C_1, C_2) = 0.7 \ln(C_1) + 0.3 \ln(C_2)$ であることから、$C_1$の限界消費性向は0.7であることがわかります。

つまり、$C_1 = 0.7Y$です。（ただし、これは簡略化した議論で、本来は異時点間の予算制約式から導出する必要があります。）

均衡条件に代入すると、$Y = 0.7Y + G$となります。

これを$Y$について解くと、$Y - 0.7Y = G$より、$0.3Y = G$、したがって、$Y = \frac{1}{0.3}G = \frac{10}{3}G$となります。

財政支出乗数は、政府支出の変化に対する所得の変化の割合なので、$\frac{\Delta Y}{\Delta G}$で表されます。

この場合、$\frac{\Delta Y}{\Delta G} = \frac{10}{3}$となります。

3. 最終的な答え

財政支出乗数は $\frac{10}{3}$ です。