ベクトル関数 $\vec{F}_3(x,y,z) = \frac{4x-2y}{x^2+y^2+2} \vec{i} + \frac{4y+2x}{x^2+y^2+2} \vec{j}$ について、次の積分を計算する問題です。 (1) 体積分：$\iiint_{V_5} \mathrm{div} \vec{F}_3 \, dV$, ここで$V_5$は$x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 2$を満たす円柱です。 (2) 面積分：$\iint_{S_6} (\mathrm{rot} \vec{F}_3) \cdot \vec{n} \, dS$, ここで$S_6$は平面$z=2$にあり、$x^2+y^2 \leq 1$を満たす円であり、単位法線ベクトル $\vec{n}$ は $z$ が正の方向を向いています。

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\vec{F}_3(x,y,z) = \frac{4x-2y}{x^2+y^2+2} \vec{i} + \frac{4y+2x}{x^2+y^2+2} \vec{j}$ について、次の積分を計算する問題です。

(1) 体積分：$\iiint_{V_5} \mathrm{div} \vec{F}_3 \, dV$, ここで$V_5$は$x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 2$を満たす円柱です。

(2) 面積分：$\iint_{S_6} (\mathrm{rot} \vec{F}_3) \cdot \vec{n} \, dS$, ここで$S_6$は平面$z=2$にあり、$x^2+y^2 \leq 1$を満たす円であり、単位法線ベクトル $\vec{n}$ は $z$ が正の方向を向いています。

2. 解き方の手順

(1) 発散定理を使って体積積分を計算します。まず、$\mathrm{div} \vec{F}_3$ を計算します。

$$\mathrm{div} \vec{F}_3 = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{4x-2y}{x^2+y^2+2}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{4y+2x}{x^2+y^2+2}\right) + \frac{\partial}{\partial z}(0)$$

$$= \frac{4(x^2+y^2+2) - (4x-2y)(2x)}{(x^2+y^2+2)^2} + \frac{4(x^2+y^2+2) - (4y+2x)(2y)}{(x^2+y^2+2)^2}$$

$$= \frac{4x^2 + 4y^2 + 8 - 8x^2 + 4xy + 4x^2 + 4y^2 + 8 - 8y^2 - 4xy}{(x^2+y^2+2)^2}$$

$$= \frac{16}{(x^2+y^2+2)^2}$$

したがって、

$$\iiint_{V_5} \mathrm{div} \vec{F}_3 \, dV = \iiint_{V_5} \frac{16}{(x^2+y^2+2)^2} \, dV$$

円柱座標 $(r, \theta, z)$ に変換すると、$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$ であり、$dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ です。積分範囲は $0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq z \leq 2$ となります。

$$\iiint_{V_5} \frac{16}{(x^2+y^2+2)^2} \, dV = \int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{16}{(r^2+2)^2} r \, dr \, d\theta \, dz$$

まず、$r$ に関する積分を計算します。$u = r^2 + 2$ と置換すると、$du = 2r \, dr$ となり、積分範囲は $2 \leq u \leq 3$ となります。

$$\int_0^1 \frac{16r}{(r^2+2)^2} \, dr = \int_2^3 \frac{8}{u^2} \, du = 8\left[-\frac{1}{u}\right]_2^3 = 8\left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) = 8\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{3}$$

次に $\theta$ に関する積分を計算します。

$$\int_0^{2\pi} \frac{4}{3} \, d\theta = \frac{4}{3} [ \theta ]_0^{2\pi} = \frac{8\pi}{3}$$

最後に $z$ に関する積分を計算します。

$$\int_0^2 \frac{8\pi}{3} \, dz = \frac{8\pi}{3} [ z ]_0^2 = \frac{16\pi}{3}$$

(2) ストークスの定理を使って面積分を計算します。ストークスの定理より $\iint_{S_6} (\mathrm{rot} \vec{F}_3) \cdot \vec{n} \, dS = \oint_{C_6} \vec{F}_3 \cdot d\vec{r}$, ここで $C_6$ は $S_6$ の境界であり、$x^2+y^2 = 1, z = 2$ を満たす円です。円のパラメータ表示は $x = \cos t, y = \sin t, z = 2$ となり、$0 \leq t \leq 2\pi$ です。したがって、$d\vec{r} = (-\sin t \, dt) \vec{i} + (\cos t \, dt) \vec{j} + (0) \vec{k}$ となります。

$$\vec{F}_3(x,y,z) = \frac{4x-2y}{x^2+y^2+2} \vec{i} + \frac{4y+2x}{x^2+y^2+2} \vec{j} = \frac{4\cos t - 2\sin t}{3} \vec{i} + \frac{4\sin t + 2\cos t}{3} \vec{j}$$

$$\oint_{C_6} \vec{F}_3 \cdot d\vec{r} = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{4\cos t - 2\sin t}{3} (-\sin t) + \frac{4\sin t + 2\cos t}{3} (\cos t) \right] \, dt$$

$$= \int_0^{2\pi} \frac{-4\cos t \sin t + 2\sin^2 t + 4\sin t \cos t + 2\cos^2 t}{3} \, dt$$

$$= \int_0^{2\pi} \frac{2(\sin^2 t + \cos^2 t)}{3} \, dt = \int_0^{2\pi} \frac{2}{3} \, dt = \frac{2}{3} [t]_0^{2\pi} = \frac{4\pi}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) $\iiint_{V_5} \mathrm{div} \vec{F}_3 \, dV = \frac{16\pi}{3}$

(2) $\iint_{S_6} (\mathrm{rot} \vec{F}_3) \cdot \vec{n} \, dS = \frac{4\pi}{3}$