マクスウェル・ボルツマン分布に基づいた300 Kにおける3種類の気体分子（アルゴンAr、窒素N2、水蒸気H2O）の速度分布に関する問題です。以下の問いに答えます。 (1) 図中の気体分子A, B, Cはそれぞれ何かを答えます。 (2) アルゴンArの300 Kにおける根平均二乗速度を計算し、根平均二乗速度、最確速度、平均速度の大小関係を答えます。 (3) 気体分子Bの75 Kおよび600 Kにおける速度分布として適切なグラフを選択します。 (4) アルゴンAr、窒素N2、水蒸気H2Oの300 Kにおける1モルあたりの回転運動エネルギーを計算します。

1. 問題の内容

マクスウェル・ボルツマン分布に基づいた300 Kにおける3種類の気体分子（アルゴンAr、窒素N2、水蒸気H2O）の速度分布に関する問題です。以下の問いに答えます。

(1) 図中の気体分子A, B, Cはそれぞれ何かを答えます。

(2) アルゴンArの300 Kにおける根平均二乗速度を計算し、根平均二乗速度、最確速度、平均速度の大小関係を答えます。

(3) 気体分子Bの75 Kおよび600 Kにおける速度分布として適切なグラフを選択します。

(4) アルゴンAr、窒素N2、水蒸気H2Oの300 Kにおける1モルあたりの回転運動エネルギーを計算します。

2. 解き方の手順

(1) 気体分子の特定

マクスウェル・ボルツマン分布において、分子量が大きいほど分布のピークは低い速度側にシフトします。グラフから、分子量の大小関係を判断し、分子量を考慮して気体分子を特定します。

分子量はAr = 40, N2 = 28, H2O = 18 です。

(2) 根平均二乗速度の計算と大小関係

根平均二乗速度 $v_{rms}$ は、以下の式で与えられます。

$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

ここで、$R$は気体定数、$T$は温度、$M$はモル質量です。

Arの300 Kにおける根平均二乗速度を計算します。

平均速度 $v_{ave}$と最確速度 $v_{mp}$ は以下の式で与えられます。

$v_{ave} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$

$v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$

したがって、$v_{rms} > v_{ave} > v_{mp}$の関係が成り立ちます。

(3) 温度変化による速度分布の変化

温度が低いほど分布のピークは低い速度側に、温度が高いほどピークは高い速度側にシフトします。気体BはN2なので、300KのN2のグラフと比べて75Kと600Kのグラフを選択します。

(4) 回転運動エネルギーの計算

1分子あたりの回転の自由度は、直線分子では2、非直線分子では3です。

1モルあたりの回転運動エネルギーは、以下の式で与えられます。

$E_{rot} = \frac{f}{2}RT$

ここで、$f$は回転の自由度、$R$は気体定数、$T$は温度です。

アルゴンは単原子分子なので回転運動をしません。N2は直線分子、H2Oは非直線分子として計算します。

3. 最終的な答え

(1)

A: Ar (アルゴン)

B: N2 (窒素)

C: H2O (水蒸気)

(2)

$M_{Ar} = 0.040 \text{ kg/mol}$として計算します。

$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.3 \text{ J/(mol K)} \times 300 \text{ K}}{0.040 \text{ kg/mol}}} = \sqrt{\frac{7470}{0.04}} \approx \sqrt{186750} \approx 432 \text{ m/s}$

根平均二乗速度：432 m/s

大小関係：根平均二乗速度 > 平均速度 > 最確速度

(3)

75 K: (ア)

600 K: (キ)

(4)

Ar: 0 kJ/mol

N2: $E_{rot} = \frac{2}{2}RT = 1 \times 8.3 \text{ J/(mol K)} \times 300 \text{ K} = 2490 \text{ J/mol} = 2.49 \text{ kJ/mol} \approx 2.5 \text{ kJ/mol}$

H2O: $E_{rot} = \frac{3}{2}RT = \frac{3}{2} \times 8.3 \text{ J/(mol K)} \times 300 \text{ K} = 3735 \text{ J/mol} = 3.735 \text{ kJ/mol} \approx 3.7 \text{ kJ/mol}$

Ar: 0 kJ/mol

N2: 2.5 kJ/mol

H2O: 3.7 kJ/mol