問題5.3はキルヒホッフの法則に従うRL直列回路に関する問題です。 与えられた微分方程式 $L\frac{dI}{dt} + RI = E$ (ここで、$L, R, E$ は定数) を用いて、以下の問いに答えます。 (a) $I(t)$ を決定しなさい。初期条件は $t=0$ で $I=0$ です。 (b) 充分な時間が経った後の電流 $I_{\infty}$ を求めなさい。 (c) $L=2\mu H$, $R=2\Omega$ のとき、$I$ が $I_{\infty}$ の90%になる時刻を求めなさい。

1. 問題の内容

問題5.3はキルヒホッフの法則に従うRL直列回路に関する問題です。

与えられた微分方程式 $L\frac{dI}{dt} + RI = E$ (ここで、$L, R, E$ は定数) を用いて、以下の問いに答えます。

(a) $I(t)$ を決定しなさい。初期条件は $t=0$ で $I=0$ です。

(b) 充分な時間が経った後の電流 $I_{\infty}$ を求めなさい。

(c) $L=2\mu H$, $R=2\Omega$ のとき、$I$ が $I_{\infty}$ の90%になる時刻を求めなさい。

2. 解き方の手順

(a) $I(t)$ の決定

与えられた微分方程式は

$$L\frac{dI}{dt} + RI = E$$

これは1階線形常微分方程式なので、変数分離して解きます。

$$\frac{dI}{dt} = \frac{E-RI}{L}$$

$$\int \frac{dI}{E-RI} = \int \frac{dt}{L}$$

$$-\frac{1}{R}\ln|E-RI| = \frac{t}{L} + C_1$$

$$\ln|E-RI| = -\frac{Rt}{L} + C_2$$

$$E-RI = Ae^{-\frac{Rt}{L}}$$

($A = e^{C_2}$とおいた)

$$RI = E - Ae^{-\frac{Rt}{L}}$$

$$I(t) = \frac{E}{R} - \frac{A}{R}e^{-\frac{Rt}{L}}$$

初期条件 $I(0) = 0$ を用いると、

$$0 = \frac{E}{R} - \frac{A}{R}$$

$$A = E$$

したがって、

$$I(t) = \frac{E}{R} - \frac{E}{R}e^{-\frac{Rt}{L}} = \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$$

(b) $I_{\infty}$ の計算

充分な時間が経過した後($t \to \infty$)の電流 $I_{\infty}$ を求めます。

$$I_{\infty} = \lim_{t \to \infty} I(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$$

$t \to \infty$ のとき $e^{-\frac{Rt}{L}} \to 0$ なので

$$I_{\infty} = \frac{E}{R}$$

(c) $I$ が $I_{\infty}$ の90%になる時刻の計算

$L = 2 \times 10^{-6} H$, $R = 2 \Omega$ のとき、$I$ が $I_{\infty}$ の90%になる時刻 $t_0$ を求めます。

$$I(t_0) = 0.9I_{\infty}$$

$$\frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt_0}{L}}) = 0.9 \frac{E}{R}$$

$$1 - e^{-\frac{Rt_0}{L}} = 0.9$$

$$e^{-\frac{Rt_0}{L}} = 0.1$$

$$-\frac{Rt_0}{L} = \ln(0.1)$$

$$t_0 = -\frac{L}{R} \ln(0.1) = -\frac{2 \times 10^{-6}}{2} \ln(0.1) = -10^{-6} \ln(0.1) \approx 2.303 \times 10^{-6}$$

したがって、

$$t_0 \approx 2.303 \mu s$$

3. 最終的な答え

(a) $I(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$

(b) $I_{\infty} = \frac{E}{R}$

(c) $t_0 \approx 2.303 \mu s$