天体の表面から鉛直に打ち上げられるロケットについて、以下の問いに答えます。 (a) ロケットの質量 $m(t)$ を求めます。 (b) $m(t)$ を用い、ロケットの速度 $v$ についての運動方程式を立てます。 (c) 運動方程式を解き、$v(t)$ を求めます。 (d) $v(t)$ を1回積分し、$y(t)$ を求めます。

1. 問題の内容

天体の表面から鉛直に打ち上げられるロケットについて、以下の問いに答えます。

(a) ロケットの質量 $m(t)$ を求めます。

(b) $m(t)$ を用い、ロケットの速度 $v$ についての運動方程式を立てます。

(c) 運動方程式を解き、$v(t)$ を求めます。

(d) $v(t)$ を1回積分し、$y(t)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(a) ロケットの質量 $m(t)$ の導出

ロケットは毎秒質量 $M$ のガスを噴射するので、時刻 $t$ におけるロケットの質量 $m(t)$ は、初期質量 $m_0$ から $Mt$ を引いたものになります。

$m(t) = m_0 - Mt$

(b) ロケットの速度 $v$ についての運動方程式の導出

運動方程式は、ロケットに働く力（重力）と、ガス噴射による推力によって記述されます。

外力がない場合のロケットの運動方程式を参考にすると、今回は重力が働いているため、以下のような運動方程式が立てられます。

$m(t) \frac{dv}{dt} = u \frac{d m}{dt} - m(t)g$

ここで、$m(t) = m_0 - Mt$ であり、$\frac{dm}{dt} = -M$ です。

したがって、運動方程式は次のようになります。

$(m_0 - Mt)\frac{dv}{dt} = -uM - (m_0 - Mt)g$

(c) 運動方程式を解き、$v(t)$ を求める

上記の方程式を解くために、変形します。

$\frac{dv}{dt} = \frac{-uM}{m_0 - Mt} - g$

両辺を $t$ で積分します。

$\int \frac{dv}{dt} dt = \int (\frac{-uM}{m_0 - Mt} - g) dt$

$v(t) = \int \frac{-uM}{m_0 - Mt} dt - \int g dt$

ここで、$\int \frac{-uM}{m_0 - Mt} dt = u \ln(m_0 - Mt) + C_1$ であり、$\int g dt = gt + C_2$ です。

したがって、

$v(t) = u \ln(m_0 - Mt) - gt + C$

初期条件 $v(0) = 0$ を用いると、

$0 = u \ln(m_0) + C$

$C = - u \ln(m_0)$

よって、

$v(t) = u \ln(m_0 - Mt) - gt - u \ln(m_0) = u \ln(\frac{m_0 - Mt}{m_0}) - gt$

(d) $v(t)$ を1回積分し、$y(t)$ を求める

$y(t) = \int v(t) dt = \int [u \ln(\frac{m_0 - Mt}{m_0}) - gt] dt$

ここで、

$\int \ln(m_0 - Mt) dt = -\frac{(m_0 - Mt)\ln(m_0 - Mt)}{M} + t + C$

したがって、

$\int u \ln(\frac{m_0 - Mt}{m_0}) dt = \frac{u}{m_0} \int \ln(m_0 - Mt) dt = \frac{u}{m_0} [-\frac{(m_0 - Mt)}{M}\ln(m_0 - Mt) + t] + C$

$\int gt dt = \frac{1}{2}gt^2 + C$

$y(t) = u\int \ln(\frac{m_0 - Mt}{m_0})dt - \frac{1}{2} gt^2 + C$

$y(t) = - \frac{u}{M} (m_0 - Mt) \ln(\frac{m_0 - Mt}{m_0}) + u\frac{Mt}{m_0} - \frac{1}{2} gt^2 + C$

初期条件 $y(0) = 0$ より、$C = 0$ であるから、

$y(t) = - \frac{u}{M} (m_0 - Mt) \ln(\frac{m_0 - Mt}{m_0}) + u\frac{Mt}{m_0} - \frac{1}{2} gt^2$

3. 最終的な答え

(a) $m(t) = m_0 - Mt$

(b) $(m_0 - Mt)\frac{dv}{dt} = -uM - (m_0 - Mt)g$

(c) $v(t) = u \ln(\frac{m_0 - Mt}{m_0}) - gt$

(d) $y(t) = - \frac{u}{M} (m_0 - Mt) \ln(\frac{m_0 - Mt}{m_0}) + u\frac{Mt}{m_0} - \frac{1}{2} gt^2$