AD-AS分析において、与えられた総需要（AD）曲線と総供給（AS）曲線から、均衡物価水準 $P^* > 0$ を求める。AD曲線は $Y = 40 + \frac{300}{P}$ であり、AS曲線は $Y = 160P$ である。

1. 問題の内容

AD-AS分析において、与えられた総需要（AD）曲線と総供給（AS）曲線から、均衡物価水準 $P^* > 0$ を求める。AD曲線は $Y = 40 + \frac{300}{P}$ であり、AS曲線は $Y = 160P$ である。

2. 解き方の手順

均衡状態では、総需要と総供給が一致する。つまり、AD曲線とAS曲線の交点を求める。

まず、AD曲線とAS曲線を等しく置く。

$40 + \frac{300}{P} = 160P$

次に、この式を解いて $P$ を求める。

両辺に $P$ をかける。

$40P + 300 = 160P^2$

式を整理して、二次方程式の形にする。

$160P^2 - 40P - 300 = 0$

両辺を20で割る。

$8P^2 - 2P - 15 = 0$

この二次方程式を解くために、解の公式を用いる。

$P = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 8$, $b = -2$, $c = -15$ である。

$P = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(8)(-15)}}{2(8)}$

$P = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 480}}{16}$

$P = \frac{2 \pm \sqrt{484}}{16}$

$P = \frac{2 \pm 22}{16}$

$P$ の値は二つ得られる。

$P_1 = \frac{2 + 22}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$

$P_2 = \frac{2 - 22}{16} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4} = -1.25$

問題文に $P^* > 0$ とあるので、負の値は解として不適。したがって、$P = 1.5$ が均衡物価水準となる。

3. 最終的な答え

$P^* = 1.5$