与えられた連立微分方程式を解く問題です。 連立微分方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -x - 4y \\ \frac{dy}{dt} = x - y \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立微分方程式を解く問題です。

連立微分方程式は以下の通りです。

$\begin{cases}

\frac{dx}{dt} = -x - 4y \\

\frac{dy}{dt} = x - y

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 1つ目の式から$x$について解きます。

$\frac{dx}{dt} = -x - 4y$

$x = -\frac{dx}{dt} - 4y$

(2) この式を$t$で微分します。

$\frac{dx}{dt} = -\frac{d^2x}{dt^2} - 4\frac{dy}{dt}$

(3) 2つ目の式を4倍します。

$4\frac{dy}{dt} = 4x - 4y$

(4) (2)と(3)の式から$4\frac{dy}{dt}$を消去します。

$\frac{dx}{dt} = -\frac{d^2x}{dt^2} - (4x - 4y)$

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + 4x - 4y = 0$

(5) 1つ目の式を$x$と$y$について変形します。

$4y = -\frac{dx}{dt} - x$

(6) (4)の式に(5)の式を代入します。

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + 4x + \frac{dx}{dt} + x = 0$

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + 5x = 0$

(7) 上記の微分方程式を解きます。特性方程式は以下のようになります。

$\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$

$\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i$

(8) $x(t)$の一般解は次のようになります。

$x(t) = c_1e^{-t}cos(2t) + c_2e^{-t}sin(2t)$

(9) $\frac{dx}{dt}$を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -c_1e^{-t}cos(2t) - 2c_1e^{-t}sin(2t) - c_2e^{-t}sin(2t) + 2c_2e^{-t}cos(2t)$

$\frac{dx}{dt} = e^{-t}[(-c_1 + 2c_2)cos(2t) + (-2c_1 - c_2)sin(2t)]$

(10) $y(t)$を計算します。

$y(t) = -\frac{1}{4}(\frac{dx}{dt} + x) = -\frac{1}{4}[e^{-t}[(-c_1 + 2c_2)cos(2t) + (-2c_1 - c_2)sin(2t)] + c_1e^{-t}cos(2t) + c_2e^{-t}sin(2t)]$

$y(t) = -\frac{1}{4}e^{-t}[2c_2cos(2t) - 2c_1sin(2t)]$

$y(t) = \frac{1}{2}e^{-t}[c_1sin(2t) - c_2cos(2t)]$

3. 最終的な答え

$\begin{cases}

x(t) = c_1e^{-t}cos(2t) + c_2e^{-t}sin(2t) \\

y(t) = \frac{1}{2}e^{-t}[c_1sin(2t) - c_2cos(2t)]

\end{cases}$