問題12は、なめらかな斜面上を運動する質量 $m$ [kg] の物体について、加速度 $a$ [m/s^2] と面からの垂直抗力 $N$ [N] を求める問題です。斜面の角度は45度、重力加速度の大きさは $g$ [m/s^2] です。加速度 $a$ は斜面に沿って下向きを正の向きとします。 問題13は、なめらかで水平な氷の面上に質量 10 kg の台を置き、この上に人を乗せて、1.2 × 10^2 N の力で水平に引いたところ、2.0 m/s^2 の加速度で台と人が一体となって動いたとき、台上の人の質量を求める問題です。

1. 問題の内容

問題12は、なめらかな斜面上を運動する質量 $m$ [kg] の物体について、加速度 $a$ [m/s^2] と面からの垂直抗力 $N$ [N] を求める問題です。斜面の角度は45度、重力加速度の大きさは $g$ [m/s^2] です。加速度 $a$ は斜面に沿って下向きを正の向きとします。

問題13は、なめらかで水平な氷の面上に質量 10 kg の台を置き、この上に人を乗せて、1.2 × 10^2 N の力で水平に引いたところ、2.0 m/s^2 の加速度で台と人が一体となって動いたとき、台上の人の質量を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題12

(1) 物体にはたらく力を書き出す。

物体にはたらく力は、重力 $mg$、垂直抗力 $N$ のみです。

(2) 座標軸を設定する。

斜面に沿って下向きを $x$ 軸正方向、斜面に垂直上向きを $y$ 軸正方向とします。

(3) 力を $x$ 軸方向と $y$ 軸方向に分解する。

重力 $mg$ の $x$ 軸方向成分は $mg \sin 45^\circ = \frac{mg}{\sqrt{2}}$、

$y$ 軸方向成分は $-mg \cos 45^\circ = -\frac{mg}{\sqrt{2}}$ です。

垂直抗力 $N$ は $y$ 軸方向のみで、成分は $N$ です。

(4) 運動方程式を立てる。

$x$ 軸方向：$ma = mg \sin 45^\circ$

$y$ 軸方向：$0 = N - mg \cos 45^\circ$

(5) 運動方程式を解く。

$x$ 軸方向の式から、$a = g \sin 45^\circ = \frac{g}{\sqrt{2}}$

$y$ 軸方向の式から、$N = mg \cos 45^\circ = \frac{mg}{\sqrt{2}}$

問題13

(1) 人の質量を $m$ [kg] とおく。

(2) 台と人を一体として考え、運動方程式を立てる。

台と人の質量の合計は $(10 + m)$ [kg] なので、運動方程式は

$F = (10 + m)a$ となります。ここで、$F = 1.2 \times 10^2 = 120$ N, $a = 2.0$ m/s^2 です。

(3) 運動方程式を解く。

$120 = (10 + m) \times 2.0$

$60 = 10 + m$

$m = 50$

3. 最終的な答え

問題12

加速度 $a = \frac{g}{\sqrt{2}}$ [m/s^2]

垂直抗力 $N = \frac{mg}{\sqrt{2}}$ [N]

問題13

人の質量は 50 kg