長さ $L$ の糸の先端に質量 $m$ の質点をつけ、他端を天井に固定した振り子について、速度に比例する抵抗 $-\lambda v$ が働くとする。重力加速度を $g$ とする。 (i) 糸が鉛直線となす角を $\theta$ とする。$\theta \approx 0$ のとき、$\sin \theta \approx \theta$ と近似できる。$0 < \lambda < \lambda_c$ で減衰振動となる $\lambda_c$ を $m, L, g$ を用いて表す。 (ii) $m=1, L=1, \lambda = \sqrt{g}$ のとき、質点の振動の周期 $T$ を求める。 (iii) $t=0$ で $\theta=0, \frac{d\theta}{dt} = v_0$ のとき、$\Theta(t)$ を求める。

1. 問題の内容

長さ $L$ の糸の先端に質量 $m$ の質点をつけ、他端を天井に固定した振り子について、速度に比例する抵抗 $-\lambda v$ が働くとする。重力加速度を $g$ とする。

(i) 糸が鉛直線となす角を $\theta$ とする。$\theta \approx 0$ のとき、$\sin \theta \approx \theta$ と近似できる。$0 < \lambda < \lambda_c$ で減衰振動となる $\lambda_c$ を $m, L, g$ を用いて表す。

(ii) $m=1, L=1, \lambda = \sqrt{g}$ のとき、質点の振動の周期 $T$ を求める。

(iii) $t=0$ で $\theta=0, \frac{d\theta}{dt} = v_0$ のとき、$\Theta(t)$ を求める。

2. 解き方の手順

(i)

運動方程式は $mL \ddot{\theta} = -mg \theta - \lambda L \dot{\theta}$ となる。

$\ddot{\theta} + \frac{\lambda}{m} \dot{\theta} + \frac{g}{L} \theta = 0$

$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$, $2\gamma = \frac{\lambda}{m}$ とおくと、$\ddot{\theta} + 2\gamma \dot{\theta} + \omega^2 \theta = 0$

減衰振動の条件は $\gamma < \omega$ なので、$\frac{\lambda}{2m} < \sqrt{\frac{g}{L}}$

$\lambda < 2m \sqrt{\frac{g}{L}}$ より、 $\lambda_c = 2m \sqrt{\frac{g}{L}}$

(ii)

$m=1, L=1, \lambda = \sqrt{g}$ なので、$\lambda_c = 2\sqrt{g}$

$\gamma = \frac{\lambda}{2m} = \frac{\sqrt{g}}{2}$, $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} = \sqrt{g}$

$\gamma < \omega$ なので減衰振動する。

$\omega' = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} = \sqrt{g - \frac{g}{4}} = \sqrt{\frac{3g}{4}} = \frac{\sqrt{3g}}{2}$

周期 $T = \frac{2\pi}{\omega'} = \frac{4\pi}{\sqrt{3g}}$

(iii)

$\theta(t) = A e^{-\gamma t} \sin(\omega' t + \phi)$

$\theta(0) = 0$ より、$\phi = 0$

$\theta(t) = A e^{-\gamma t} \sin(\omega' t)$

$\dot{\theta}(t) = A(-\gamma e^{-\gamma t} \sin(\omega' t) + \omega' e^{-\gamma t} \cos(\omega' t))$

$\dot{\theta}(0) = A \omega' = v_0$ より、$A = \frac{v_0}{\omega'} = \frac{2 v_0}{\sqrt{3g}}$

$\theta(t) = \frac{2v_0}{\sqrt{3g}} e^{-\frac{\sqrt{g}}{2} t} \sin(\frac{\sqrt{3g}}{2} t)$

3. 最終的な答え

(i) $\lambda_c = 2m\sqrt{\frac{g}{L}}$

(ii) $T = \frac{4\pi}{\sqrt{3g}}$

(iii) $\theta(t) = \frac{2v_0}{\sqrt{3g}} e^{-\frac{\sqrt{g}}{2} t} \sin(\frac{\sqrt{3g}}{2} t)$