等角加速度 $2 \text{ rad/s}^2$ で加速回転する円盤がある。時刻 $t=0$ での角速度は $3 \text{ rad/s}$、回転角は $1 \text{ rad}$ である。時刻 $t=3 \text{ s}$ での回転角を、平均角速度を用いる方法と定積分を用いる方法の2通りで求める。

1. 問題の内容

等角加速度 $2 \text{ rad/s}^2$ で加速回転する円盤がある。時刻 $t=0$ での角速度は $3 \text{ rad/s}$、回転角は $1 \text{ rad}$ である。時刻 $t=3 \text{ s}$ での回転角を、平均角速度を用いる方法と定積分を用いる方法の2通りで求める。

2. 解き方の手順

i. 平均角速度を用いた方法

まず、時刻 $t=3$ における角速度 $\omega(3)$ を求める。角加速度 $\alpha$ が一定なので、

$\omega(t) = \omega(0) + \alpha t$

より、

$\omega(3) = 3 + 2 \cdot 3 = 9 \text{ rad/s}$

次に、平均角速度 $\bar{\omega}$ を求める。

$\bar{\omega} = \frac{\omega(0) + \omega(3)}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6 \text{ rad/s}$

回転角 $\theta(t)$ は、

$\theta(t) = \theta(0) + \bar{\omega}t$

したがって、時刻 $t=3$ での回転角 $\theta(3)$ は、

$\theta(3) = 1 + 6 \cdot 3 = 19 \text{ rad}$

ii. 定積分による方法

角速度 $\omega(t)$ は、

$\omega(t) = 3 + 2t$

回転角 $\theta(t)$ は、角速度を積分することで求められる。

$\theta(t) = \int \omega(t) dt = \int (3 + 2t) dt = 3t + t^2 + C$

初期条件 $\theta(0) = 1$ より、$C = 1$。

したがって、

$\theta(t) = 3t + t^2 + 1$

時刻 $t=3$ における回転角は、

$\theta(3) = 3 \cdot 3 + 3^2 + 1 = 9 + 9 + 1 = 19 \text{ rad}$

3. 最終的な答え

i. 平均角速度を用いた場合：$19 \text{ rad}$

ii. 定積分を用いた場合：$19 \text{ rad}$