光ファイバーを伝播する光信号の強度はランベルト-ベールの法則に従う。長さ $l_1$ と長さ $l_2$ の光ファイバーを使い、同じ入射光パワー $I_0$ のときの射出光パワーはそれぞれ $I_1$, $I_2$ であった。減衰定数 $\alpha$ を求めよ。

## 4.3 光ファイバーの問題

1. 問題の内容

光ファイバーを伝播する光信号の強度はランベルト-ベールの法則に従う。長さ $l_1$ と長さ $l_2$ の光ファイバーを使い、同じ入射光パワー $I_0$ のときの射出光パワーはそれぞれ $I_1$, $I_2$ であった。減衰定数 $\alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ランベルト-ベールの法則によると、光ファイバー内の光の強度 $I$ は距離 $x$ に対して以下の式で表される。

$I = I_0 e^{-\alpha x}$

ここで、$I_0$ は入射光の強度、$x$ は光ファイバー内の距離、$\alpha$ は減衰定数である。

長さ $l_1$ の光ファイバーにおける射出光パワー $I_1$ は、

$I_1 = I_0 e^{-\alpha l_1}$

同様に、長さ $l_2$ の光ファイバーにおける射出光パワー $I_2$ は、

$I_2 = I_0 e^{-\alpha l_2}$

これらの式から $I_0$ を消去するために、$I_1$ の式を $I_2$ の式で割る。

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_0 e^{-\alpha l_1}}{I_0 e^{-\alpha l_2}} = e^{-\alpha (l_1 - l_2)}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln \left(\frac{I_1}{I_2}\right) = -\alpha (l_1 - l_2)$

したがって、減衰定数 $\alpha$ は、

$\alpha = -\frac{1}{l_1 - l_2} \ln \left(\frac{I_1}{I_2}\right) = \frac{1}{l_2 - l_1} \ln \left(\frac{I_1}{I_2}\right)$

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{1}{l_2 - l_1} \ln \left(\frac{I_1}{I_2}\right)$

## 4.4 自動車の問題

1. 問題の内容

質量 $m$ の自動車が静止状態から全力で加速を始める。自動車が出せる最大のパワー $P$ は一定であり、自動車が最大の効率で加速しているとき、推力 $F$, 速度 $v (=\dot{x})$ と $P$ の間には $P = Fv$ の関係がある。

(a) 自動車の運動が従う運動方程式を示せ。

(b) $v = \dot{x}$ の変数変換を行い、$v(t)$ を決定せよ。

(c) $x(t)$ を決定せよ。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式

自動車に働く力は推力 $F$ のみであり、運動方程式はニュートンの第二法則 $F = ma$ で表される。

ここで $a = \dot{v} = \ddot{x}$ であるから、

$F = m \dot{v}$

また、$P = Fv$ より $F = \frac{P}{v}$ であるから、運動方程式は

$m \dot{v} = \frac{P}{v}$

または

$m \frac{dv}{dt} = \frac{P}{v}$

(b) $v(t)$ の決定

運動方程式を $v$ と $t$ について変数分離して積分する。

$m v dv = P dt$

両辺を積分すると、

$\int m v dv = \int P dt$

$\frac{1}{2} m v^2 = P t + C$

初期条件 $t = 0$ で $v = 0$ より、$C = 0$

したがって、

$\frac{1}{2} m v^2 = P t$

$v^2 = \frac{2P}{m} t$

$v(t) = \sqrt{\frac{2P}{m} t}$

(c) $x(t)$ の決定

$v(t) = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m} t}$

$dx = \sqrt{\frac{2P}{m} t} dt$

両辺を積分すると、

$\int dx = \int \sqrt{\frac{2P}{m} t} dt$

$x = \sqrt{\frac{2P}{m}} \int t^{1/2} dt$

$x = \sqrt{\frac{2P}{m}} \frac{2}{3} t^{3/2} + C'$

初期条件 $t = 0$ で $x = 0$ より、$C' = 0$

したがって、

$x(t) = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{3/2}$

3. 最終的な答え

(a) $m \frac{dv}{dt} = \frac{P}{v}$

(b) $v(t) = \sqrt{\frac{2P}{m} t}$

(c) $x(t) = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{3/2}$