K市の人口が5年前から毎年$r$倍で増えており、5年前の人口が100000人、現在の人口が138000人である。 9年後の人口を$y'$人とするとき、$y'$を表す式と、具体的な値の範囲を求める。

1. 問題の内容

K市の人口が5年前から毎年$r$倍で増えており、5年前の人口が100000人、現在の人口が138000人である。

9年後の人口を$y'$人とするとき、$y'$を表す式と、具体的な値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 現在の人口$y = 138000$人である。5年前の人口が100000人なので、$r$倍で5年後に138000人になることから、

$100000 \times r^5 = 138000$

$r^5 = \frac{138000}{100000} = 1.38$

$r = 1.38^{\frac{1}{5}}$

したがって、$y' = y \times r^9 = 138000 \times (1.38^{\frac{1}{5}})^9 = 138000 \times 1.38^{\frac{9}{5}} = 10^5 \times 1.38 \times (1.38^{\frac{1}{5}})^9 = 10^5 \times 1.38^{1+\frac{9}{5}}=10^5 \times 1.38^{\frac{14}{5}}$

よって、$y' = 10^5 \times 1.38^{\frac{14}{5}}$　なので、テ の解答は $1.38^{\frac{14}{5}}$である。

(2) 次に、$y = 10^5 \times r^9 = 10^5 \times (1.38^{1/5})^9 = 10^5 \times 1.38^{9/5}$ より

$y = 10^5 \times 1.38^{\frac{9}{5}}$

(3) $log_{10}y = log_{10}(10^5 \times 1.38^{\frac{9}{5}}) = log_{10}10^5 + log_{10}(1.38^{\frac{9}{5}}) = 5 + \frac{9}{5}log_{10}1.38$

したがって、ソの解答は5、タの解答は$\frac{9}{5}$となる。

(4) $log_{10}y = log_{10}(1.38 \times 10^5) = log_{10}1.38 + log_{10}10^5 = log_{10}1.38 + 5$

したがって、チの解答は5となる。

(5) $log_{10}r = \frac{1}{5}log_{10}1.38$　ゆえに　ツの解答は $\frac{1}{5}log_{10}1.38$となる。

(6) ここで、$log_{10}1.38 \approx 0.14$とすると $y'= 10^5 \times 1.38^{\frac{14}{5}} = 10^5 \times (10^{log_{10}1.38})^{\frac{14}{5}} = 10^5 \times 10^{\frac{14}{5}log_{10}1.38} \approx 10^5 \times 10^{\frac{14}{5} \times 0.14}=10^5 \times 10^{0.392} \approx 10^5 \times 2.466 = 246600$

$log_{10}1.38^{\frac{14}{5}} \approx 0.392$

$y' = 10^5 \times 1.38^{\frac{14}{5}}$ より　$1.38^{\frac{14}{5}} = 2.466 \dots$なので

$y' \approx 10^5 \times 2.466=246600$　

したがって、トの解答は240000以上250000未満となる。

3. 最終的な答え

テ: $1.38^{\frac{14}{5}}$

ソ: 5

タ: $\frac{9}{5}$

チ: 5

ツ: $\frac{1}{5}log_{10}1.38$

ト: 240000以上250000未満