ベクトル場 $\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ (ただし $\mathbf{r} \neq \mathbf{0}$) の発散 $\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3}$ を計算する問題です。ここで、$\mathbf{r} = (x, y, z)$ であり、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ (ただし $\mathbf{r} \neq \mathbf{0}$) の発散 $\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3}$ を計算する問題です。ここで、$\mathbf{r} = (x, y, z)$ であり、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。

2. 解き方の手順

発散の定義は、$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$ で与えられます。ここで、$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ です。

この問題では、$\mathbf{A} = \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \left(\frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3}\right)$ です。したがって、

$\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{r^3}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{r^3}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{z}{r^3}\right)$ を計算します。

まず、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ であることに注意して、$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ を計算します。同様に、$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$ および $\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$ となります。

次に、各偏微分を計算します。

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3x}{r^4} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x}{r^4} \frac{x}{r} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}$

同様に、

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}$

$\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{z}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}$

したがって、

$\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\right) + \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}\right) + \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}\right)$

$= \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3}{r^3} = 0$

3. 最終的な答え

$\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} = 0$ (for $\mathbf{r} \neq \mathbf{0}$)