与えられた画像には複数の数学の問題が含まれています。 4.1 は微分方程式の一般解を求める問題です。 4.2 は湖の透明度に関する問題で、(a) 湖水の減衰距離を求め、(b) 見えなくなる光の強度を求める問題です。 4.3 は光ファイバーの減衰定数を求める問題です。 4.4 は質量 m の自動車が全力で加速する際の運動に関する問題で、(a) 運動方程式を示し、(b) 速度 v(t) を決定し、(c) 位置 x(t) を決定し、(d) 400m 先のゴールに到達するまでにかかる時間を求めます。 4.5 は $^{14}C$ の崩壊に関する問題で、(a) 崩壊定数を求め、(b) 2000 年経つと $^{14}C$ 原子数は最初の何%になるかを求めます。 4.6 はロジスティック方程式の一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた画像には複数の数学の問題が含まれています。

4.1 は微分方程式の一般解を求める問題です。

4.2 は湖の透明度に関する問題で、(a) 湖水の減衰距離を求め、(b) 見えなくなる光の強度を求める問題です。

4.3 は光ファイバーの減衰定数を求める問題です。

4.4 は質量 m の自動車が全力で加速する際の運動に関する問題で、(a) 運動方程式を示し、(b) 速度 v(t) を決定し、(c) 位置 x(t) を決定し、(d) 400m 先のゴールに到達するまでにかかる時間を求めます。

4.5 は $^{14}C$ の崩壊に関する問題で、(a) 崩壊定数を求め、(b) 2000 年経つと $^{14}C$ 原子数は最初の何%になるかを求めます。

4.6 はロジスティック方程式の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

4.4(d)の問題を解きます。

まず、与えられた情報から、質量 $m = 1000 kg$、最大パワー $P = 1.5 \times 10^5 W$、距離 $x = 400 m$ です。

(a) の結果から、運動方程式は $m \ddot{x} = \frac{P}{\dot{x}}$ です。

(b) の結果から、速度は $v(t) = \dot{x}(t) = \sqrt{\frac{2P}{m}}t$ となります。

(c) の結果から、位置は $x(t) = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2P}{m}} t^2$ となります。

ゴールに到達する時間 $t$ を求めるには、$x(t) = 400$ を解きます。

$400 = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 \times 1.5 \times 10^5}{1000}} t^2$

$400 = \frac{1}{3} \sqrt{300} t^2$

$1200 = \sqrt{300} t^2$

$t^2 = \frac{1200}{\sqrt{300}} = \frac{1200}{10\sqrt{3}} = \frac{120}{\sqrt{3}} = \frac{120 \sqrt{3}}{3} = 40\sqrt{3}$

$t = \sqrt{40\sqrt{3}} = \sqrt{40 \times 1.732} = \sqrt{69.28} \approx 8.32 s$

3. 最終的な答え

4.4(d) の答えは、約 8.32 秒です。