質量 $m$ の質点 P が、原点 O からの距離 $r$ に対して $-\frac{ma}{r^3} \hat{r}$ (ただし $a > 0$, $1 < s < 3$) の力を受けて運動している。ここで $\hat{r}$ は質点 P の位置ベクトル $\vec{r}$ と同じ向きの単位ベクトルである。初期条件は、時刻 $t=0$ で質点 P の位置が $(0,1,0)$ であり、速度が $(u, v, w)$ である。以下の問いに答える。 (i) 質点 P は一つの平面上でのみ運動する。つまり、質点 P の位置を $(X, Y, Z)$ とすると、$\alpha X + \beta Y + \gamma Z = \eta$ の関係が成り立つ。定数 $\alpha, \beta, \gamma$ を $m, u, v, w$ を用いて表せ。 (ii) 線分 OP が直線 OP0 となす角を $\theta$ とする。原点に関する角運動量の大きさ $H$ は $H = mr^2 \frac{d\theta}{dt}$ と表せる。$H$ は時間によらない一定値になる。その値を $m, u, v, w$ を用いて表せ。 (iii) $r$ は次の方程式に従う。$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{H^2}{m^2r^3} - \frac{a}{r^s}$. 単位質量の粒子が正の x 軸上で、その位置が $x$ であるときに $F(x) = \frac{H^2}{m^2x^3} - \frac{a}{x^s}$ の力を受けて運動する場合に対応する。 (a) この粒子のポテンシャル $U(x)$ を、無限遠点でのポテンシャルを 0 であるとして、$x, m, H, a, s$ を用いて表わせ。 (b) 運動が振動となるための力学的エネルギー $E$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点 P が、原点 O からの距離 $r$ に対して $-\frac{ma}{r^3} \hat{r}$ (ただし $a > 0$, $1 < s < 3$) の力を受けて運動している。ここで $\hat{r}$ は質点 P の位置ベクトル $\vec{r}$ と同じ向きの単位ベクトルである。初期条件は、時刻 $t=0$ で質点 P の位置が $(0,1,0)$ であり、速度が $(u, v, w)$ である。以下の問いに答える。

(i) 質点 P は一つの平面上でのみ運動する。つまり、質点 P の位置を $(X, Y, Z)$ とすると、$\alpha X + \beta Y + \gamma Z = \eta$ の関係が成り立つ。定数 $\alpha, \beta, \gamma$ を $m, u, v, w$ を用いて表せ。

(ii) 線分 OP が直線 OP0 となす角を $\theta$ とする。原点に関する角運動量の大きさ $H$ は $H = mr^2 \frac{d\theta}{dt}$ と表せる。$H$ は時間によらない一定値になる。その値を $m, u, v, w$ を用いて表せ。

(iii) $r$ は次の方程式に従う。$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{H^2}{m^2r^3} - \frac{a}{r^s}$. 単位質量の粒子が正の x 軸上で、その位置が $x$ であるときに $F(x) = \frac{H^2}{m^2x^3} - \frac{a}{x^s}$ の力を受けて運動する場合に対応する。

(a) この粒子のポテンシャル $U(x)$ を、無限遠点でのポテンシャルを 0 であるとして、$x, m, H, a, s$ を用いて表わせ。

(b) 運動が振動となるための力学的エネルギー $E$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 初期位置 $(0, 1, 0)$ と初期速度 $(u, v, w)$ から、平面の方程式を求める。位置 $(X, Y, Z)$ がこの平面上にあるので、

$\alpha X + \beta Y + \gamma Z = \eta$

$t=0$ で $(X, Y, Z) = (0, 1, 0)$ なので $0 + \beta(1) + 0 = \eta \rightarrow \beta = \eta$

速度ベクトル $(u, v, w)$ はこの平面に平行なので、平面の法線ベクトル $(\alpha, \beta, \gamma)$ との直積はゼロになる。

$\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$

初期位置 $(0, 1, 0)$ から法線ベクトル $(\alpha, \beta, \gamma)$ は $\alpha = w, \beta = 0, \gamma = -u$ を得る。

したがって、$wX + 0Y -uZ = \eta = 0$。$wX - uZ = 0$

$\alpha = w, \beta = 0, \gamma = -u$

(ii) 角運動量は $H = mr^2 \frac{d\theta}{dt}$ で与えられる。初期位置は $(0, 1, 0)$ なので、$x=0, y=1, z=0$ であり、$r = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$。速度 $(u, v, w)$ の内、z 方向の速度 $w$ と x 方向の速度 $u$ が角運動量に関わる。$H = m(xw - uz)$. 初期条件より $x=0, y=1, z=0, \dot{x}=u, \dot{y}=v, \dot{z}=w$. 従って $H = m(0w - 0u) = 0$ は成り立たない。

角運動量は、$H = m|\vec{r} \times \vec{v}|$. $\vec{r} = (0, 1, 0)$, $\vec{v} = (u, v, w)$ なので $\vec{r} \times \vec{v} = (w, 0, -u)$. $H = m\sqrt{w^2 + u^2}$.

(iii) (a) ポテンシャル $U(x)$ は $F(x) = -\frac{dU(x)}{dx}$ で与えられるので、

$U(x) = -\int F(x) dx = -\int (\frac{H^2}{m^2x^3} - \frac{a}{x^s}) dx = -\frac{H^2}{m^2} \int x^{-3} dx + a \int x^{-s} dx$

$U(x) = -\frac{H^2}{m^2} \frac{x^{-2}}{-2} + a \frac{x^{-s+1}}{-s+1} = \frac{H^2}{2m^2x^2} + \frac{a}{1-s}x^{1-s}$. 無限遠で $U(x) = 0$ なので積分定数は不要。

(b) 振動するためには、ポテンシャルの極小値が存在し、エネルギー $E$ が極小値より大きく、ポテンシャルが無限大に発散する点より小さい必要がある。つまり、$U_{min} < E < 0$.

ポテンシャルの極小値を求めるには、$\frac{dU}{dx} = 0$ となる点を求める。

$\frac{dU}{dx} = \frac{H^2}{2m^2}(-2)x^{-3} + \frac{a}{1-s} (1-s) x^{-s} = -\frac{H^2}{m^2x^3} + ax^{-s} = 0$

$\frac{H^2}{m^2x^3} = \frac{a}{x^s}$

$x^{s-3} = \frac{am^2}{H^2}$

$x = (\frac{am^2}{H^2})^{\frac{1}{s-3}}$

$U_{min} = \frac{H^2}{2m^2(\frac{am^2}{H^2})^{\frac{2}{s-3}}} + \frac{a}{1-s}(\frac{am^2}{H^2})^{\frac{1-s}{s-3}} = \frac{H^2}{2m^2}(\frac{H^2}{am^2})^{\frac{2}{3-s}} + \frac{a}{1-s}(\frac{am^2}{H^2})^{\frac{s-1}{s-3}} = \frac{H^{\frac{2(3-s)-4}{3-s}}}{2m^{\frac{2(3-s)-4}{3-s}}} a^{\frac{2}{3-s}} + \frac{a}{1-s}a^{\frac{s-1}{s-3}}m^{\frac{2(s-1)}{s-3}}H^{\frac{-2(s-1)}{s-3}}$

3. 最終的な答え

(i) $\alpha = w, \beta = 0, \gamma = -u$

(ii) $H = m\sqrt{u^2 + w^2}$

(iii) (a) $U(x) = \frac{H^2}{2m^2x^2} + \frac{a}{1-s}x^{1-s}$

(iii) (b) $U_{min} < E < 0$. ただし、$U_{min} = \frac{H^{\frac{2(3-s)-4}{3-s}}}{2m^{\frac{2(3-s)-4}{3-s}}} a^{\frac{2}{3-s}} + \frac{a}{1-s}a^{\frac{s-1}{s-3}}m^{\frac{2(s-1)}{s-3}}H^{\frac{-2(s-1)}{s-3}}$ であり、$x = (\frac{am^2}{H^2})^{\frac{1}{s-3}}$の時の値。