問題は、以下の３つの効用関数 $B(x)$ が与えられたとき、それぞれの個別需要関数 $x(p)$ を求める問題です。ここで、$x$ は消費量、$p$ は価格を表します。 (1) $B(x) = 24x - x^2$ ($p \le 24$) (2) $B(x) = ax - bx^2$ ($a, b$ は正の定数、$p \le a$) (3) $B(x) = 4\sqrt{x}$

1. 問題の内容

問題は、以下の３つの効用関数 $B(x)$ が与えられたとき、それぞれの個別需要関数 $x(p)$ を求める問題です。ここで、$x$ は消費量、$p$ は価格を表します。

(1) $B(x) = 24x - x^2$ ($p \le 24$)

(2) $B(x) = ax - bx^2$ ($a, b$ は正の定数、$p \le a$)

(3) $B(x) = 4\sqrt{x}$

2. 解き方の手順

需要関数は、限界便益と価格が等しくなる条件から導出できます。限界便益 $MB(x)$ は、効用関数 $B(x)$ を消費量 $x$ で微分したものです。つまり、$MB(x) = \frac{dB(x)}{dx}$ です。需要関数は $MB(x) = p$ を $x$ について解くことで得られます。

(1) $B(x) = 24x - x^2$ の場合

まず、$B(x)$ を $x$ で微分して限界便益を求めます。

$MB(x) = \frac{d}{dx}(24x - x^2) = 24 - 2x$

次に、$MB(x) = p$ とおいて、$x$ について解きます。

$24 - 2x = p$

$2x = 24 - p$

$x = 12 - \frac{p}{2}$

(2) $B(x) = ax - bx^2$ の場合

同様に、$B(x)$ を $x$ で微分して限界便益を求めます。

$MB(x) = \frac{d}{dx}(ax - bx^2) = a - 2bx$

$MB(x) = p$ とおいて、$x$ について解きます。

$a - 2bx = p$

$2bx = a - p$

$x = \frac{a - p}{2b}$

(3) $B(x) = 4\sqrt{x}$ の場合

同様に、$B(x)$ を $x$ で微分して限界便益を求めます。

$MB(x) = \frac{d}{dx}(4\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(4x^{\frac{1}{2}}) = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

$MB(x) = p$ とおいて、$x$ について解きます。

$\frac{2}{\sqrt{x}} = p$

$\sqrt{x} = \frac{2}{p}$

$x = \left(\frac{2}{p}\right)^2 = \frac{4}{p^2}$

3. 最終的な答え

それぞれの個別需要関数は以下の通りです。

(1) $x(p) = 12 - \frac{p}{2}$

(2) $x(p) = \frac{a - p}{2b}$

(3) $x(p) = \frac{4}{p^2}$