質量 $m = 2.0 \text{ kg}$ の粒子が、原点を中心に角速度 $\vec{\omega} = 3.0 \hat{k} \text{ rad/s}$ で等速円運動をしている。粒子の位置ベクトルが $\vec{r} = 2.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j} \text{ m}$ で与えられているとき、粒子の速度 $\vec{v}$ と、粒子に働く向心力 $\vec{F}$ を求める。

1. 問題の内容

質量 $m = 2.0 \text{ kg}$ の粒子が、原点を中心に角速度 $\vec{\omega} = 3.0 \hat{k} \text{ rad/s}$ で等速円運動をしている。粒子の位置ベクトルが $\vec{r} = 2.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j} \text{ m}$ で与えられているとき、粒子の速度 $\vec{v}$ と、粒子に働く向心力 $\vec{F}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 速度 $\vec{v}$ の計算

速度 $\vec{v}$ は、角速度 $\vec{\omega}$ と位置ベクトル $\vec{r}$ の外積で求められる。

$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$

$\vec{\omega} = 3.0 \hat{k} \text{ rad/s}$

$\vec{r} = 2.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j} \text{ m}$

$\vec{v} = (3.0 \hat{k}) \times (2.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j})$

$\vec{v} = (3.0 \times 2.0) (\hat{k} \times \hat{i}) + (3.0 \times 3.0) (\hat{k} \times \hat{j})$

$\vec{v} = 6.0 \hat{j} - 9.0 \hat{i}$

$\vec{v} = -9.0 \hat{i} + 6.0 \hat{j} \text{ m/s}$

(2) 向心力 $\vec{F}$ の計算

向心力 $\vec{F}$ は、質量 $m$ と向心加速度 $\vec{a}$ の積で求められる。

$\vec{F} = m \vec{a}$

向心加速度 $\vec{a}$ は、$- \omega^2 \vec{r}$ で求められる。

$\vec{a} = - \omega^2 \vec{r} = - (3.0)^2 (2.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j}) = -9.0 (2.0 \hat{i} + 3.0 \hat{j}) = -18.0 \hat{i} - 27.0 \hat{j} \text{ m/s}^2$

$\vec{F} = m \vec{a} = 2.0 (-18.0 \hat{i} - 27.0 \hat{j}) = -36.0 \hat{i} - 54.0 \hat{j} \text{ N}$

3. 最終的な答え

(1) 速度: $\vec{v} = -9.0 \hat{i} + 6.0 \hat{j} \text{ m/s}$

(2) 向心力: $\vec{F} = -36.0 \hat{i} - 54.0 \hat{j} \text{ N}$