質量 $m$ の質点 $P$ が、原点からの距離 $r$ に応じて $-\frac{ma}{r^3} \vec{e_r}$ (ただし、$a > 0, 1 < s < 3$) の力を受けて運動する。ここで、$\vec{e_r}$ は質点 $P$ の位置ベクトルと同じ向きの単位ベクトルである。初期条件として、時刻 $t=0$ で質点 $P$ の位置は点 $P_0(0, 1, 0)$ であり、速度は $\vec{v_0} = (u, v, w)$ とする。以下の設問に答えよ。 (i) 質点 $P$ は一つの平面上でのみ運動する。その平面の方程式 $\alpha X + \beta Y + \gamma Z = \tau$ を求める。ここで、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ を $m$, $u$, $v$, $w$ を用いて表す。 (ii) 線分 $OP$ が直線 $OP_0$ となす角を $\theta$ とする。原点に関する角運動量の大きさ $H = mr^2 \frac{d\theta}{dt}$ を $m$, $u$, $v$, $w$ を用いて表す。 (iii) 単位質量の粒子が正の x 軸上で、その位置が $x$ であるときに、$F(x) = \frac{H^2}{m^2x^3} - \frac{a}{x^s}$ の力を受けて運動している場合を考える。(a) この粒子のポテンシャル $U(x)$ を、無限遠点でのポテンシャルを 0 であるとして $x$, $m$, $H$, $a$, $s$ を用いて表わせ。(b) 運動が振動となるための力学的エネルギー $E$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点 $P$ が、原点からの距離 $r$ に応じて $-\frac{ma}{r^3} \vec{e_r}$ (ただし、$a > 0, 1 < s < 3$) の力を受けて運動する。ここで、$\vec{e_r}$ は質点 $P$ の位置ベクトルと同じ向きの単位ベクトルである。初期条件として、時刻 $t=0$ で質点 $P$ の位置は点 $P_0(0, 1, 0)$ であり、速度は $\vec{v_0} = (u, v, w)$ とする。以下の設問に答えよ。

(i) 質点 $P$ は一つの平面上でのみ運動する。その平面の方程式 $\alpha X + \beta Y + \gamma Z = \tau$ を求める。ここで、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ を $m$, $u$, $v$, $w$ を用いて表す。

(ii) 線分 $OP$ が直線 $OP_0$ となす角を $\theta$ とする。原点に関する角運動量の大きさ $H = mr^2 \frac{d\theta}{dt}$ を $m$, $u$, $v$, $w$ を用いて表す。

(iii) 単位質量の粒子が正の x 軸上で、その位置が $x$ であるときに、$F(x) = \frac{H^2}{m^2x^3} - \frac{a}{x^s}$ の力を受けて運動している場合を考える。(a) この粒子のポテンシャル $U(x)$ を、無限遠点でのポテンシャルを 0 であるとして $x$, $m$, $H$, $a$, $s$ を用いて表わせ。(b) 運動が振動となるための力学的エネルギー $E$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 質点 $P$ の位置 $(X, Y, Z)$ は、初期位置 $P_0(0, 1, 0)$ と初期速度 $\vec{v_0} = (u, v, w)$ から定まる平面上を運動する。平面の法線ベクトルは、初期位置ベクトルと初期速度ベクトルの外積で与えられる。

初期位置ベクトルは $\vec{r_0} = (0, 1, 0)$ なので、法線ベクトル $\vec{n}$ は

$\vec{n} = \vec{r_0} \times \vec{v_0} = (0, 1, 0) \times (u, v, w) = (w, 0, -u)$

したがって、平面の方程式は $wX + 0Y - uZ = \tau$ となる。

初期位置 $P_0(0, 1, 0)$ はこの平面上にあるので、$\tau = w(0) + 0(1) - u(0) = 0$ となる。

(ii) 角運動量 $H = mr^2 \frac{d\theta}{dt}$ は、初期条件から求める。

初期位置では、$r = |OP_0| = 1$ であり、$v = r\frac{d\theta}{dt}$ (ただし、v は初期速度のY方向成分)となるから、$H = mr^2 \frac{d\theta}{dt} = m(1)^2 v = mv$ となる。

(iii)

(a) ポテンシャル $U(x)$ は、力 $F(x)$ を積分することで求められる。無限遠点で $U(\infty) = 0$ となるように積分定数を定める。

$U(x) = -\int_{\infty}^{x} F(x') dx' = -\int_{\infty}^{x} \left(\frac{H^2}{m^2x'^3} - \frac{a}{x'^s}\right) dx' = -\left[ \frac{H^2}{m^2} (-\frac{1}{2x'^2}) - a (-\frac{1}{(s-1)x'^{s-1}}) \right]_{\infty}^{x}$

$U(x) = \frac{H^2}{2m^2x^2} - \frac{a}{(s-1)x^{s-1}}$

(b) 運動が振動となるためには、ポテンシャルエネルギーの極小値が存在し、エネルギー $E$ がその極小値よりも大きく、ポテンシャルが発散する点よりも小さい必要がある。

$F(x) = 0$ となる $x$ で極値を持つ。$F(x) = \frac{H^2}{m^2x^3} - \frac{a}{x^s} = 0$ より、$x^{s-3} = \frac{am^2}{H^2}$ となる。

$x_{eq} = \left(\frac{am^2}{H^2}\right)^{\frac{1}{s-3}}$

ポテンシャルエネルギーの極小値は

$U(x_{eq}) = \frac{H^2}{2m^2} \left(\frac{H^2}{am^2}\right)^{\frac{2}{3-s}} - \frac{a}{s-1} \left(\frac{H^2}{am^2}\right)^{\frac{s-1}{3-s}}$

3. 最終的な答え

(i)

$\alpha = w$

$\beta = 0$

$\gamma = -u$

(ii)

$H = mv$

(iii)

(a)

$U(x) = \frac{H^2}{2m^2x^2} - \frac{a}{(s-1)x^{s-1}}$

(b)

$\frac{H^2}{2m^2} \left(\frac{H^2}{am^2}\right)^{\frac{2}{3-s}} - \frac{a}{s-1} \left(\frac{H^2}{am^2}\right)^{\frac{s-1}{3-s}} < E < 0$