ベクトル場 $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ の回転 $\nabla \times \mathbf{r}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ の回転 $\nabla \times \mathbf{r}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転 $\nabla \times \mathbf{r}$ は、以下の行列式で計算できます。

$\nabla \times \mathbf{r} = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\

x & y & z

\end{vmatrix}$

この行列式を展開すると、

$\nabla \times \mathbf{r} = \left( \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} \right) \mathbf{k}$

ここで、各偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial y}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial x}{\partial z} = 0$, $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial y}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial x}{\partial y} = 0$

したがって、

$\nabla \times \mathbf{r} = (0 - 0) \mathbf{i} + (0 - 0) \mathbf{j} + (0 - 0) \mathbf{k} = 0\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 0\mathbf{k}$

3. 最終的な答え

$\nabla \times \mathbf{r} = \mathbf{0}$