質量 $m$ の物体が、なめらかな斜面を運動している。このとき、物体の加速度 $a$ と、斜面から物体に働く垂直抗力 $N$ の大きさを求める。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、加速度 $a$ は斜面に沿って下向きを正とする。斜面の角度は $45^\circ$である。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が、なめらかな斜面を運動している。このとき、物体の加速度 $a$ と、斜面から物体に働く垂直抗力 $N$ の大きさを求める。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、加速度 $a$ は斜面に沿って下向きを正とする。斜面の角度は $45^\circ$である。

2. 解き方の手順

(1) 物体にはたらく力を考える。重力 $mg$ と垂直抗力 $N$ がはたらく。

(2) 重力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解する。

- 斜面に平行な方向の重力の成分は $mg \sin 45^\circ = mg \frac{\sqrt{2}}{2}$

- 斜面に垂直な方向の重力の成分は $mg \cos 45^\circ = mg \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) 斜面に垂直な方向の力のつり合いを考える。垂直抗力 $N$ と重力の斜面に垂直な成分が釣り合うので、

$N = mg \cos 45^\circ = mg \frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) 斜面に平行な方向の運動方程式を立てる。斜面に沿って下向きを正とすると、

$ma = mg \sin 45^\circ = mg \frac{\sqrt{2}}{2}$

両辺を $m$ で割ると、

$a = g \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

加速度 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}g$

垂直抗力 $N = \frac{\sqrt{2}}{2}mg$