円柱形の缶（両端が金属板のフタで閉じられている）の容積を一定としたとき、缶の製作に必要な金属板の面積を最小にするには、底面の直径 $d$ と高さ $h$ の比をどのようにすればよいか。その比 $d:h$ を求める問題です。

1. 問題の内容

円柱形の缶（両端が金属板のフタで閉じられている）の容積を一定としたとき、缶の製作に必要な金属板の面積を最小にするには、底面の直径 $d$ と高さ $h$ の比をどのようにすればよいか。その比 $d:h$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

缶の容積を $V$ 、底面の半径を $r$ とすると、$d = 2r$です。缶の表面積を $S$ とします。

容積 $V$ は、

$V = \pi r^2 h$

表面積 $S$ は、側面積と上下の円の面積の和なので、

$S = 2\pi r h + 2\pi r^2$

$V$が一定なので、$h$ を $r$ で表すと、

$h = \frac{V}{\pi r^2}$

これを $S$ の式に代入すると、

$S = 2\pi r \frac{V}{\pi r^2} + 2\pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2$

$S$ を $r$ で微分して、極値を求めます。

$\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4\pi r$

$\frac{dS}{dr} = 0$ となる $r$ を求めると、

$-\frac{2V}{r^2} + 4\pi r = 0$

$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$

$r^3 = \frac{V}{2\pi}$

$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

このとき、$h$ は、

$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi (\frac{V}{2\pi})^{\frac{2}{3}}} = \frac{V^{\frac{1}{3}}}{\pi^{1-\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{2V}{\pi})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} (\frac{V}{\pi})^{\frac{1}{3}}$

$h = 2r$

$d = 2r$ なので、$h = d$

したがって、$d:h = 1:1$

3. 最終的な答え

$d:h = 1:1$