(1) 時刻 $t$ での質点の速度の $x$ 成分 $v_x$ と $y$ 成分 $v_y$ を求めよ。 解答が与えられており、$v_x = a \sin(\omega t) + a \omega t \cos(\omega t)$、 $v_y = a \cos(\omega t) - a \omega t \sin(\omega t)$ である。 (2) 時刻 $t$ での質点の加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ を求めよ。 解答が与えられており、$a_x = 2 a \omega \cos(\omega t) - a \omega^2 t \sin(\omega t)$、 $a_y = -2 a \omega \sin(\omega t) - a \omega^2 t \cos(\omega t)$ である。

1. 問題の内容

(1) 時刻 $t$ での質点の速度の $x$ 成分 $v_x$ と $y$ 成分 $v_y$ を求めよ。

解答が与えられており、$v_x = a \sin(\omega t) + a \omega t \cos(\omega t)$、 $v_y = a \cos(\omega t) - a \omega t \sin(\omega t)$ である。

(2) 時刻 $t$ での質点の加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ を求めよ。

解答が与えられており、$a_x = 2 a \omega \cos(\omega t) - a \omega^2 t \sin(\omega t)$、 $a_y = -2 a \omega \sin(\omega t) - a \omega^2 t \cos(\omega t)$ である。

2. 解き方の手順

問題文に解答が記載されているため、ここでは与えられた速度の式を時間 $t$ で微分して、加速度の式を導出することで、解答が正しいことを確認する。

(1) 速度の $x$ 成分 $v_x$ を時間 $t$ で微分して、$a_x$ を求める。

$v_x = a \sin(\omega t) + a \omega t \cos(\omega t)$

$\frac{d}{dt} \sin(\omega t) = \omega \cos(\omega t)$

$\frac{d}{dt} t \cos(\omega t) = \cos(\omega t) - \omega t \sin(\omega t)$

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = a \omega \cos(\omega t) + a \omega (\cos(\omega t) - \omega t \sin(\omega t)) = 2 a \omega \cos(\omega t) - a \omega^2 t \sin(\omega t)$

(2) 速度の $y$ 成分 $v_y$ を時間 $t$ で微分して、$a_y$ を求める。

$v_y = a \cos(\omega t) - a \omega t \sin(\omega t)$

$\frac{d}{dt} \cos(\omega t) = -\omega \sin(\omega t)$

$\frac{d}{dt} t \sin(\omega t) = \sin(\omega t) + \omega t \cos(\omega t)$

$a_y = \frac{dv_y}{dt} = - a \omega \sin(\omega t) - a \omega (\sin(\omega t) + \omega t \cos(\omega t)) = -2 a \omega \sin(\omega t) - a \omega^2 t \cos(\omega t)$

3. 最終的な答え

(1)

$v_x = a \sin(\omega t) + a \omega t \cos(\omega t)$

$v_y = a \cos(\omega t) - a \omega t \sin(\omega t)$

(2)

$a_x = 2 a \omega \cos(\omega t) - a \omega^2 t \sin(\omega t)$

$a_y = -2 a \omega \sin(\omega t) - a \omega^2 t \cos(\omega t)$