この問題は、ある質点の運動について、以下の３つの問いに答えるものです。 (1) 時刻 $t$ での質点の速度の $x$ 成分 $v_x$ と $y$ 成分 $v_y$ を求めよ。 (2) 時刻 $t$ での質点の加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ を求めよ。 (3) 原点Oにおける質点の加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ を求めよ。 ただし、(1)と(2)の答えは画像に記載されています。 (3) は (2) の結果を基に計算します。

1. 問題の内容

この問題は、ある質点の運動について、以下の３つの問いに答えるものです。

(1) 時刻 $t$ での質点の速度の $x$ 成分 $v_x$ と $y$ 成分 $v_y$ を求めよ。

(2) 時刻 $t$ での質点の加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ を求めよ。

(3) 原点Oにおける質点の加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ を求めよ。

ただし、(1)と(2)の答えは画像に記載されています。 (3) は (2) の結果を基に計算します。

2. 解き方の手順

(1) 時刻 $t$ での質点の速度の $x$ 成分 $v_x$ と $y$ 成分 $v_y$ は画像に記載されています。

$v_x = a \omega \sin(\omega t) + a \omega t \cos(\omega t)$

$v_y = a \omega \cos(\omega t) - a \omega t \sin(\omega t)$

(2) 時刻 $t$ での質点の加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ は画像に記載されています。

$a_x = 2 a \omega \cos(\omega t) - a \omega^2 t \sin(\omega t)$

$a_y = -2 a \omega \sin(\omega t) - a \omega^2 t \cos(\omega t)$

(3) 原点Oにおける質点の加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ を求めるためには、質点が原点Oにいる時刻 $t$ を知る必要があります。しかし、問題文には質点の位置に関する情報がないため、$t=0$ で質点が原点にいると仮定して、(2)で求めた加速度の式に $t=0$ を代入します。

$a_x(t=0) = 2 a \omega \cos(0) - a \omega^2 (0) \sin(0) = 2 a \omega$

$a_y(t=0) = -2 a \omega \sin(0) - a \omega^2 (0) \cos(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 速度の $x$ 成分: $v_x = a \omega \sin(\omega t) + a \omega t \cos(\omega t)$

速度の $y$ 成分: $v_y = a \omega \cos(\omega t) - a \omega t \sin(\omega t)$

(2) 加速度の $x$ 成分: $a_x = 2 a \omega \cos(\omega t) - a \omega^2 t \sin(\omega t)$

加速度の $y$ 成分: $a_y = -2 a \omega \sin(\omega t) - a \omega^2 t \cos(\omega t)$

(3) 原点Oにおける加速度の $x$ 成分: $a_x = 2 a \omega$

原点Oにおける加速度の $y$ 成分: $a_y = 0$